In teoria dei gruppi, un gruppo G si dice libero se, informalmente parlando, esiste un sottoinsieme S di G tale che è possibile scrivere in modo unico ogni elemento di G come prodotto di elementi di S e dei loro inversi. Più formalmente S è un insieme di simboli e tale prodotto, detto concatenazione, è una parola nei simboli di S.

Un gruppo libero su un insieme S si indica con , i suoi elementi sono parole nei simboli di S. Ad esempio, se , allora gli elementi di sono . Poichè la scrittura di un elemento è unica alcune parole sono identificate in quanto rappresentano lo stesso elemento, come e . Gli elementi di S sono detti generatori e il numero di generatori è il rango del gruppo libero.

Un concetto collegato ma distinto è quello di gruppo abeliano libero.

Storia Nel 1882 Walther Dyck studiò, senza dargli un nome, il concetto di gruppo libero nel suo articolo Gruppentheoretische Studien, pubblicato nei Mathematische Annalen. Il termine gruppo libero fu introdotto da Jakob Nielsen nel 1924.

Esempi Il gruppo (Z,+) dei numeri interi con la somma è libero; si può scegliere S = {1}. Un gruppo libero con due generatori è usato invece per il paradosso di Banach-Tarski.

In topologia algebrica il gruppo fondamentale di un bouquet di k circonferenze (cioè di k circonferenze unite per un punto) è un gruppo libero su k elementi.

Costruzione Sia S un insieme. Il gruppo libero su S si indica con F(S) e può essere costruito nel modo seguente. Per ogni s ∈ S si prende il nuovo simbolo s−1 (detto inverso di s) e si dice che non appartiene ad S. Si costruisce quindi l'insieme di tutte le parole finite formate dai simboli di S o dai loro inversi. Si considerano due parole equivalenti se è possibile passare dall'una all'altra inserendo o eliminando un numero finito di simboli della forma ss−1 o s−1s. Questa è una relazione di equivalenza; il suo quoziente è F(S). L'operazione di gruppo è data dal concatenamento. La relazione di equivalenza definita è compatibile con il concatenamento, e F(S) risulta essere effettivamente un gruppo con questa operazione.

Se S è l'insieme vuoto, F(S) è il gruppo banale, che contiene solo la parola vuota.

Proprietà universale Un altro modo di definire i gruppi liberi, equivalente al precedente, è il seguente.

Si consideri una coppia (F, i) dove F è un gruppo e i: S → F è una funzione. Si dice che F è un gruppo libero su S rispetto ad i se per ogni gruppo G e per ogni funzione f: S → G esiste unico un omomorfismo φ: F → G tale che:

Da questa definizione si deduce immediatamente che se (F1, i1) e (F2, i2) sono due gruppi liberi su S, allora esiste unico un isomorfismo φ: F1 → F2 tale che:

Questa è detta proprietà universale dei prodotti liberi.

La costruzione della sezione precedente dimostra l'esistenza di un gruppo libero su S comunque sia scelto S: si può scegliere infatti F = F(S) e i come la proiezione naturale di S in F(S).

L'insieme S, identificato con la sua immagine i(S), è detto base di F(S). Più in generale, un sottoinsieme S di un gruppo libero F è detto base se F è un gruppo libero su S rispetto alla funzione identità. In generale la base di un gruppo libero non è unica.

Sottogruppi È stato mostrato nel 1920 da K. Reidemeister, O. Schreier e J. Nielsen che ogni sottogruppo di un gruppo libero è a sua volta libero. Questo risultato è chiamato teorema di Schreier-Nielsen.

Note

Altri progetti

Categoria:Teoria dei gruppi