In matematica, e più in particolare in algebra lineare, un autovettore (talvolta detto vettore proprio o vettore caratteristico) di un'applicazione lineare (o endomorfismo) da uno spazio vettoriale in sé stesso è un vettore non nullo la cui immagine tramite è proporzionale al vettore stesso. Il fattore di proporzionalità, uno scalare indicato solitamente con , prende il nome di autovalore (o valore proprio). In simboli, la relazione si esprime attraverso l'equazione:

.

L'insieme formato dal vettore nullo e da tutti gli autovettori che condividono lo stesso autovalore costituisce un sottospazio vettoriale di , definito autospazio e indicato con .. L'insieme di tutti gli autovalori associati a una data trasformazione lineare è invece chiamato spettro dell'operatore.

I concetti di autovettore e autovalore giocano un ruolo cardine e trasversale in quasi tutti i rami della matematica pura e applicata, poiché permettono di isolare degli "assi privilegiati" lungo i quali il comportamento di un sistema risulta semplificato, rendendo talvolta possibile la sua diagonalizzazione. Quando lo spazio vettoriale di partenza è uno spazio di funzioni, l'autovettore prende il nome di autofunzione: un esempio classico è la funzione esponenziale , che risulta essere un'autofunzione dell'operatore di derivazione con autovalore .

Le applicazioni di questi concetti sono innumerevoli e di fondamentale importanza pratica. In fisica, gli autovettori (descritti spesso come autostati) determinano i modi normali di vibrazione di una corda vibrante in meccanica classica, o i livelli energetici degli orbitali atomici nell'equazione di Schrödinger in meccanica quantistica. Nelle scienze applicate e nell'informatica, la ricerca dell'autovalore principale di grandi matrici governa il comportamento asintotico dei sistemi retroazionati e sta alla base di algoritmi complessi, come il PageRank sviluppato da Google per l'indicizzazione dei siti web.

Storicamente, il prefisso auto- (derivato dal greco autós, "di sé stesso") è la traduzione del termine tedesco Eigen ("proprio", "caratteristico"), coniato e introdotto per la prima volta in questo preciso contesto matematico da David Hilbert nel 1904.

Introduzione informale

Il piano cartesiano e lo spazio euclideo sono esempi particolari di spazi vettoriali: ogni punto dello spazio può essere descritto tramite un vettore, rappresentato graficamente da un segmento che collega l'origine al punto. In uno spazio vettoriale è possibile effettuare trasformazioni lineari sui vettori che lo costituiscono: esempi di trasformazioni lineari sono le rotazioni, le omotetie (che consentono a un vettore di essere amplificato o contratto) e le riflessioni (che consentono a un vettore di essere trasformato nel suo speculare rispetto a un punto, retta o piano assegnati).

Un autovettore per la trasformazione lineare è un vettore che a seguito dell'applicazione di non cambia la sua direzione, limitandosi ad essere moltiplicato per uno scalare , il rispettivo autovalore. Il vettore può quindi soltanto cambiare modulo (venendo amplificato o contratto) e verso (venendo ribaltato): se il verso di rimane inalterato, mentre se il verso di cambia se il modulo di rimane inalterato, se il modulo cresce, se decresce.

Autovettori e autovalori sono definiti e usati in matematica e fisica nell'ambito di spazi vettoriali più complessi e astratti di quello tridimensionale della fisica classica. Questi spazi possono avere dimensione maggiore di 3 o addirittura infinita (un esempio è dato dallo spazio di Hilbert). Anche le possibili posizioni di una corda vibrante in una chitarra formano uno spazio di questo tipo: una vibrazione della corda è quindi interpretata come trasformazione di questo spazio e i suoi autovettori (più precisamente, le sue autofunzioni) sono le onde stazionarie.

Definizione Sia uno spazio vettoriale su un campo , che può essere ad esempio il campo dei numeri reali o il campo dei complessi . Sia un endomorfismo di , cioè una trasformazione lineare:

Se è un vettore non nullo in e è uno scalare tali che:

allora è un autovettore della trasformazione , e è il suo autovalore..

Poiché è lineare, se è un autovettore con autovalore , allora ogni multiplo non-nullo di è anch'esso un autovettore con lo stesso autovalore . Infatti, detto un qualsiasi vettore tale che , con , si avrà poiché è lineare. Ma essendo , si ha che:

cioè .

Più in generale, gli autovettori aventi lo stesso fissato autovalore , insieme al vettore nullo, generano un sottospazio di chiamato l'autospazio relativo all'autovalore , solitamente indicato con ..

Lo spettro di è l'insieme dei suoi autovalori. Il raggio spettrale di è l'estremo superiore dei moduli dei suoi autovalori.

Descrizione matriciale e autovettore sinistro Nel caso in cui sia di dimensione finita, per ogni scelta di basi a è associata univocamente una matrice, detta matrice di trasformazione.. Si può pertanto parlare di una funzione lineare sia in termini di funzione (trasformazione) che di matrice, ed il formalismo matriciale viene spesso utilizzato per la ricerca di autovettori e autovalori.

Sia il vettore delle coordinate di rispetto a una base e sia la matrice di trasformazione rappresentante rispetto alla medesima base. Si ha che è detto autovettore di se esiste uno scalare detto autovalore tale che:.

In particolare, gli autovalori di non dipendono dalla base scelta.

Il vettore è detto autovettore destro, in quanto un vettore non nullo è detto autovettore sinistro se esiste tale che:

dove è il vettore trasposto complesso coniugato di . Se è autovettore sinistro di con autovalore , allora è anche autovettore destro della matrice trasposta coniugata con autovalore il complesso coniugato .

Senza ulteriori precisazioni, per "autovettore" si intende l'autovettore destro.

Autofunzioni

Spesso gli autovettori sono a loro volta funzioni, e in tal caso si parla di autofunzioni di un operatore. Un esempio molto significativo in matematica e fisica è quello dell'autofunzione:

dell'operatore differenziale derivata:

a cui corrisponde l'autovalore in quanto:

Polinomio caratteristico

Si definisce polinomio caratteristico nella variabile associato a una matrice quadrata il determinante:.

dove è la matrice identità con lo stesso numero di righe di . Le radici del polinomio caratteristico sono tutti gli autovalori di ..

Due matrici che rappresentano un endomorfismo di uno spazio vettoriale a dimensione finita sono simili, e in particolare hanno il medesimo polinomio caratteristico, e dunque gli stessi autovalori. Si tratta di uno strumento di grande importanza, che ha permesso di sviluppare un metodo generale per l'individuazione di autovalori e autovettori di un endomorfismo nel caso in cui lo spazio vettoriale abbia dimensione finita.Nella pratica gli autovalori di grandi matrici non vengono calcolati usando il polinomio caratteristico, esistendo metodi numerici più veloci e sufficientemente stabili.

Il polinomio permette inoltre di stabilire l'esistenza di autovalori e autovettori per un'applicazione lineare: Il polinomio caratteristico di ha grado , e quindi ha al più radici: segue che ha al più autovalori distinti. Se è algebricamente chiuso allora il polinomio caratteristico ha sempre almeno una radice: segue che ha almeno un autovalore, e quindi anche almeno un autovettore.. Nel caso reale questo non succede sempre, ad esempio si possono trovare autovalori complessi. Se la dimensione di è dispari e è il campo dei numeri reali, il polinomio caratteristico ha grado dispari, e quindi ha sempre almeno una radice reale. Ad esempio, ogni endomorfismo di ha almeno un autovettore. Inoltre se il polinomio caratteristico di è completamente fattorizzabile allora è triangolabile, ossia esiste base di tale per cui la matrice associata è una matrice triangolare.

Diagonalizzabilità

Sia un endomorfismo di uno spazio vettoriale , cioè una trasformazione lineare . Si dice che è diagonalizzabile se esiste una base di rispetto alla quale la matrice che rappresenta è diagonale.. In particolare, la base che diagonalizza è composta da suoi autovettori.

In modo equivalente, una matrice quadrata è diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale.. La matrice è quindi diagonalizzabile nel campo di appartenenza se esiste una matrice invertibile tale che:

ossia:

Scrivendo in termini dei vettori colonna:

La precedente relazione diventa:

I vettori colonna di sono dunque autovettori di , e i corrispondenti elementi della matrice diagonale sono i rispettivi autovalori. L'invertibilità di implica inoltre l'indipendenza lineare degli autovettori, che formano una base dello spazio.

Il teorema spettrale

Nel caso complesso finito-dimensionale il teorema spettrale afferma che l'endomorfismo è normale se e solo se esiste una base ortonormale di fatta di suoi autovettori.. In tal caso la matrice è unitaria. Questo fondamentale risultato fornisce le condizioni per cui sia possibile diagonalizzare un operatore lineare rispetto a una base ortonormale: nel caso finito-dimensionale, quando questo risulta possibile succede che ad autovalori distinti corrispondono autovettori mutuamente ortogonali, e pertanto gli autospazi sono in somma diretta.

La decomposizione spettrale è un caso particolare della decomposizione di Schur. È anche un caso particolare della decomposizione ai valori singolari. Un operatore normale può, di conseguenza, essere scritto come una combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi, i cui coefficienti sono gli autovalori relativi a ogni autospazio.

Nel caso infinito-dimensionale la normalità, e in particolare l'autoaggiuntezza, non garantisce la diagonalizzabilità. In generale un operatore normale non può essere più scritto come combinazione lineare di proiettori ortogonali. Tuttavia, attraverso una misura a valori di proiettore è possibile ottenere una scrittura integrale che permette di descrivere l'operatore in termini del suo spettro.

Spettro di un operatore

In uno spazio di dimensione infinita la definizione di autovalore è identica al caso di dimensione finita. Tuttavia, il polinomio caratteristico non è uno strumento disponibile in questo caso in quanto si rende necessario considerare ulteriori elementi dello spettro.

Sia un operatore lineare limitato definito su uno spazio di Banach complesso . Si definisce insieme risolvente di l'insieme dei numeri complessi tali per cui l'operatore è invertibile, ovvero ha un inverso che è un operatore lineare limitato. Si definisce risolvente di la funzione:

Lo spettro di è l'insieme dei numeri complessi che non appartengono all'insieme risolvente, ovvero tali per cui l'operatore non è invertibile..

Dal momento che è un operatore lineare, se il suo inverso esiste esso è lineare. Inoltre, per il teorema del grafico chiuso l'inverso di un operatore lineare limitato è limitato. Segue che l'insieme risolvente è l'insieme dei valori che rendono bigettivo.

Lo spettro di un operatore non può essere vuoto, e si possono distinguere tre suoi sottoinsiemi disgiunti:

Si definisce spettro puntuale o discreto di l'insieme degli autovalori di , ovvero i numeri complessi tali che:

Gli autovalori sono quindi i numeri tali per cui , ossia : la funzione non è invertibile se il suo nucleo non è costituito dal solo vettore nullo, ovvero esistono dei vettori tali per cui esiste un tale che . In modo equivalente, è autovalore di se e solo se non è iniettivo, oppure se e solo se .

Si definisce spettro continuo di l'insieme dei numeri tali per cui non è limitato, pur essendo densamente definito. Si definisce spettro residuo di l'insieme dei numeri che non sono autovalori e tali per cui l'operatore non ha immagine densa in .Lo shift unilaterale su ne fornisce un esempio: tale operatore è una isometria, ed è quindi limitato ma non invertibile poiché non è surriettivo.

Operatori aggiunti e autoaggiunti