La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il numero irrazionale 1,6180339887... ottenuto effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due precedenti :
Valgono pertanto le seguenti relazioni:
Considerando solo il primo e l'ultimo membro e tenendo conto della definizione di possiamo anche scrivere
da cui discende l'equazione polinomiale a coefficienti interi
Delle due soluzioni dell'equazione, quella positiva (unica ammissibile, essendo una quantità positiva per definizione) porta alla determinazione del valore della sezione aurea dato da:
La sezione aurea è quindi un numero irrazionale (ossia non rappresentabile mediante rapporto di numeri interi data la presenza di nel numeratore della (3)) e algebrico (ovvero soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi come evidenziato dalla (2)). Può essere approssimata effettuando il rapporto fra termini consecutivi della successione di Fibonacci a cui è strettamente connessa.
I due segmenti e possono essere ottenuti graficamente come illustrato nella figura a fianco. La base del rettangolo è pari a e la sua altezza è pari ad : il loro rapporto in base alla (3) dà proprio la sezione aurea.
Se nella (1) si sostituisce iterativamente alla a denominatore tutto il secondo membro anch'esso pari a otteniamo la frazione continua:
Un'altra rappresentazione di come frazione continua generalizzata è costituita dai quadrati dei numeri di Fibonacci e delle aree del rettangolo aureo:
Le sue proprietà geometriche e matematiche e la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell'uomo la conferma dell'esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l'uomo, l'universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte, tra la parte più grande e quella più piccola che si ripete all'infinito attraverso infinite suddivisioni.Jacques Lucan, Le Corbusier, enciclopedia, pag. 492, Electa, 1988. Diversi filosofi e artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di aureo e divino.
Storia A livello storico vi sono diverse questioni aperte riguardo a se e a quali popoli, prima dei Greci, conoscessero la sezione aurea e la utilizzassero consapevolmente nelle loro opere. I casi più importanti sono quelli legati ai Babilonesi e agli Egizi.
Babilonia Alcune tavolette, riportanti calcoli computazionali, testimoniano nei Babilonesi conoscenze sia matematiche sia geometriche tali da poter ottenere buone approssimazioni dell'area del pentagono e perfino di pi greco. Anche se mancano prove definitive circa la loro effettiva conoscenza della sezione aurea, eminenti studiosi, fra cui Michael Schneider e Helen HedianHelen Hedian, The golden section and the artist su "The Fibonacci Quarterly" 14:406-18, 1976., affermano la sua presenza su steli e bassorilievi: alcuni esempi sarebbero una stele babilonese e una raffigurazione di una divinità alata del IX secolo a.C. (Metropolitan Museum of Art), la "leonessa morente" di Ninive (600 a.C.).
L'antico Egitto Le ricerche sulla possibile conoscenza e utilizzo del rapporto aureo in epoca pre-ellenica hanno riguardato anche gli antichi Egizi, ai quali soprattutto la letteratura ottocentesca attribuiva conoscenze matematiche avanzate, le cui tracce sarebbero tutt'oggi visibili nelle vestigia di numerosi monumenti. Per quanto attiene al rapporto aureo, il dibattito verte su casi meno conosciuti, come quelli dell'Osireion, della Tomba di Petosiri e della celeberrima piramide di Cheope.
Nel primo caso si tratterebbe del monumento funerario del re Seti I (XIX dinastia), riportato alla luce nel 1901 da Flinders Petrie. Al riguardo Robert Lawlor asserisce che l'architettura della stanza più interna sarebbe basata su una mistica geometria pentagonale contenente il rapporto aureo, ravvisabile in una serie di intrecci geometrici che si possono estrapolare. Precisamente all'interno della stanza sarebbe possibile disegnare secondo Lawlor due pentagoni contrapposti fino all'esaurimento della lunghezza, mentre la larghezza conterrebbe le circonferenze a essi circoscrivibili; su tale disegno sarebbero poi ricavabili la presenza degli altri elementi architettonici. Si tratta comunque di un'interpretazione senza seguito in ambito accademico.
La tomba di Petosiri, sommo sacerdote di Thot, è stata rinvenuta da Gustave Lefebvre nei primi anni venti, e risale al III secolo a.C., quando era già attestata la conoscenza della sezione aurea da parte dei Greci. In questo caso il rapporto aureo sarebbe riscontrato, sempre dallo stesso Lawlor, in un bassorilievo raffigurante l'imbalsamazione del sacerdote, anche qui in un intricato intreccio di segni geometrici che richiedono un elevato grado di astrazione rispetto alla figura per essere plausibilmente nelle reali intenzioni dell'autore..
La Grande piramide Il caso largamente più dibattuto riguardante l'Egitto è però la presenza della sezione aurea, e di altre proporzioni particolari,Ci sono al riguardo diversi studiosi che affermano che nelle misure della Grande piramide sarebbero riscontrabili diverse costanti cosmologiche e matematiche, fra cui il π (pi greco). nella Piramide di Cheope nella piana di Giza, l'unica delle sette meraviglie a essere giunta fino a noi intatta. Il mito esoterico-numerologico che circonda la Grande piramide nasce probabilmente in seguito all'opera di John Taylor, The great pyramid: why was it built and who built it? (La grande piramide: perché fu costruita e chi la costruì?), pubblicata nel 1859, e suffragata in seguito dallo studioso, astronomo ed egittologo Charles Piazzi SmythPiazzi Smyth, The Great Pyramid, New York, Gramercy book, 1978.
Il rapporto aureo sussisterebbe in questo caso fra il semilato della piramide e l'altezza della facciata triangolare costruibile sulla stessa, il che porterebbe a uninclinazione teorica della facciata pari a 51° 49' circa. La piramide reale aveva un'altezza totale di circa 147 m e lati di 230 m, con una inclinazione della parete di 51° 50' 35", estremamente simile all'inclinazione teorica, e difatti, esplicitando i conti, tra il semilato e l'"altezza"L'altezza della parete sarebbe l'ipotenusa e può essere desunta dai dati precedenti applicando il teorema di Pitagora reali:
Si tratta anche questa volta di valore molto vicino; un tale risultato potrebbe effettivamente costituire una prova di una reale conoscenza da parte degli Egizi della sezione aurea, ma potrebbe anche essere un caso fortuito.
Misure lievemente diverse delle dimensioni della piramide presenti alla voce Piramide di Cheope forniscono un risultato ancora più vicino a quello teorico. Infatti avendo come cateti l'altezza della piramide uguale a 146,6 m e con il lato di base di 230,38 m e quindi, altro cateto, il semilato di 115,19 m, applicando il teorema di Pitagora trovo la misura dell'altezza della facciata pari a 186,4411330689 metri con il quale si ottiene, come valore del rapporto tra altezza della facciata e semilato della base della piramide: 1,6185531128 risultato di: 186,4411330689 metri (valore della radice quadrata di 34760,2961 metri quadri) diviso per 115,19 metri, la misura del semilato. Il divario dal valore teorico c'è a partire dalla quarta cifra dopo la virgola.
L'astronomo britannico John Herschel scriveva, citando Erodoto, che la «Piramide [di Cheope] è caratterizzata dalla proprietà di avere ciascuna delle facce uguale al quadrato costruito dell'altezza».
Ora, stante le svariate perplessità circa la corretta interpretazione del passo in questione, si tratterebbe di una spiegazione alternativa all'ipotesi che essa sia stata inserita volontariamente e coscienziosamente nella piramide di Cheope.
Effettivamente le misure della piramide, e , sono straordinariamente simili, e parrebbero confermare la citazione, se non fosse che da nessuna parte pure questa trova definitiva conferma.
Non si ritrova infatti nel passo di Erodoto che recita
Non risulta di fatto alcun riferimento al "quadrato dell'altezza", ma soltanto misurazioni come risultante che da studi condotti da Richard GillingsRichard Gillings Mathematics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, Dover Publications, 1982 ISBN 0-486-24315-X, Roger Fischler e George Markowsky., ciononostante la sostanziale equivalenza come rilevata nell'erronea interpretazione del passaggio erodoteo esiste nelle dimensioni della piramide, come sopra evidenziato, ma probabilmente pure in questo caso è da ascrivere a cause non legate alla volontà del progettista e forse perfino ignote a quest'ultimo.
Spiegazioni tecniche sono state trovate legate alle modalità di costruzione: una proposta da Gillings, sulla base dei problemi 56 e 60 contenuti nel famoso Papiro di Rhind incentrati sui seked - una unità di misura egiziana dell'inclinazione delle superfici laterali - sostiene che il rapporto aureo deriverebbe dalla necessità tecnica di tenere una certa inclinazione costante della parete durante tutta la costruzione della piramide; l'altra, considerata anche la più attendibile., fornita invece da Kurt MendelssohnKurt Mendelssohn. L'enigma delle piramidi. Milano, Mondadori, 1990. ISBN 88-04-43384-1 secondo cui gli Egizi utilizzavano due diverse unità di misura: una per grandezze verticali, il cubito, e una per quelle orizzontali, un rullo dal diametro di cubito la cui circonferenza è uguale a pi greco cubiti, dalla combinazione dei due emergerebbe naturalmente il numero aureo.Una esauriente spiegazione matematica la puoi trovare in .
Sia, quindi, che la presenza della sezione aurea derivi dal tentativo di costruire una piramide con le peculiarità attribuitele da alcuni dagli scritti di Erodoto, sia che derivi da mere contingenze costruttive, appare improbabile che derivi da una precisa e voluta scelta dei progettisti; in sostanza nemmeno la più importante della presunte testimonianze della sua conoscenza da parte degli indizi, trova spiegazioni alternative in grado di spiegarne la sua presenza in via del tutto fortuita e inconscia.
Il periodo greco La definizione del rapporto aureo viene fissata attorno al VI secolo a.C., per opera della scuola pitagorica (i discepoli e seguaci di Pitagora), nell'Italia meridionale, dove secondo Giamblico. fu scoperto da Ippaso di Metaponto, che associò a esso il concetto di incommensurabilità.Giamblico, Silloge delle dottrine pitagoriche ca. 300 d.C.:
La definizione di rapporto aureo viene ricondotta allo studio del pentagono regolare; il pentagono è un poligono a cinque lati nel cui numero i pitagorici scorsero l'unione del principio maschile e femminile (rispettivamente nella somma del 2 col 3), tanto da considerarlo il numero dell'amore e del matrimonio.Capparelli Vincenzo. La sapienza di Pitagora Roma, Edizioni Mediterranee, 1988, (passim).
L'aura magica, che i pitagorici associavano al numero cinque e a tutto ciò che vi fosse legato, risultava legata anche a considerazioni di tipo astrologico, in particolare al pianeta Venere, archetipo dell'amore e della vita, che nel suo percorso tra la Terra e il Sole disegna in effetti una stella a cinque punte.