Carriera Club Dopo aver giocato per tre stagioni presso l'Università del New Hampshire Brickley fu scelto dai Philadelphia Flyers al decimo giro dell'NHL Entry Draft 1980. Entrò nell'organizzazione dei Flyers a partire dalla stagione 1982-1983, esordendo in NHL il 10 marzo 1983 contro i Minnesota North Stars.
In diciotto stagioni da professionista ha disputato 402 incontri in NHL con le maglie degli stessi Flyers, dei Pittsburgh Penguins, dei New Jersey Devils, dei Boston Bruins e dei Winnipeg Jets. Nel corso della propria carriera poi giocato molto anche in American Hockey League (374 incontri) con i vari farm team delle franchigie della NHL: i Maine Mariners, gli Springfield Indians, i Baltimore Skipjacks, gli Utica Devils e i Moncton Hawks.
Nella International Hockey League ha giocato 134 incontri. In quest'ultima lega ha vinto per due volte consecutive il trofeo della Turner Cup, nel 1995 e nel 1996 con i Denver/Utah Grizzlies. Si è ritirato definitivamente nel 2000 dopo un breve periodo trascorso in AHL con la maglia dei Providence Bruins.
Nazionale A livello giovanile Brickley ha disputato un mondiale Under 20 nel 1982, mentre con il Team USA ha giocato il campionato mondiale 1992.
Palmarès Club
Denver: 1994-1995 Utah: 1995-1996
Individuale AHL Second All-Star Team: 1 1982-1983 NCAA ECAC First All-Star Team: 1 1981-1982 NCAA East First All-American Team: 1 1981-1982
Note
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