位相幾何学において、CW複体（CWふくたい）とは、ホモトピー理論の要請を満たすためにJ. H. C. Whiteheadによって導入された位相空間の一種である。この空間は、単体複体よりも広範なクラスの位相空間であり、より適した圏論的特性を持つ一方で、計算（しばしば単体複体よりもはるかに少ない胞体の数での計算）を可能にする組合せ論的な性質を維持している。
構成 CW複体は胞体 (cell)と呼ばれる基本要素で構成され、より厳密には、胞体がどのようにトポロジー的に張り合わせられるかを規定する。CW複体のCは「閉包有限性」(closure finite)を表し、Wは「弱位相」(weak topology)を表す。
次元の閉胞体とは、 次元ユークリッド空間上の閉球体 に同相な空間を指す。一例として、 次元空間における単体 (三次元空間なら四面体)は閉胞体であり、より一般的に言えば、凸超多面体が閉胞体に対応する。一方で、 次元の開胞体は、 の内部に同相な空間を指す。なお、0次元の開（および閉）胞体は、一点空間と定める。
CW複体は、ハウスドルフ空間 と、次の2つの性質を満たす開胞体への分割 の組を指す。
各開胞体 に対して、 次元の閉球体からの連続写像 が存在し、以下の2つの条件を満たす。 の定義域を の内部に制限した時、これは への同相写像である。 の境界 は、 に含まれる有限個の胞体の合併へと写され、この有限個の胞体の次元がいずれも 未満である (この条件が閉包有限性に対応する)。 の部分集合 に対し、 に含まれる任意の胞体の閉包と との交叉 が における閉集合となる場合、かつその場合に限り、 が閉集合になる (この条件が弱い位相に対応する)。
CW複体 に含まれる 次元以下の全ての胞体の和集合を、 の -骨格（-skeleton）という。
正則CW複体 CW複体を構成する全ての閉胞体への特性写像 が単射（すなわち からその像への同相写像）である場合、このCW複体を正則 (regular) であるという。
相対CW複体 CW複体の定義では、 の分割に現れる部分集合は全て胞体でなければならず、すなわち各部分はとある 次元空間上の開球体と同相でなければならなかった。これに対して、相対CW複体の組 においては、 は の閉部分空間であり、 が胞体の集まりによって構成される。このとき 自身は胞体から構成されている必要はなく、相対CW複体の構成において は 次元の骨格として扱われるhttps://ncatlab.org/nlab/show/CW+complexhttps://www.encyclopediaofmath.org/index.php/CW-complex。
例 実数 の標準的なCW構造として、0-骨格を整数 とし、1-胞体を区間 とするものが挙げられる。同様に、 の標準的なCW構造として、 の0-胞体と1-胞体の直積からなる立方体状の胞体からなるものがある。これは、 の標準的な立方格子による胞体構造である。 多面体はCW複体である。 グラフは1次元のCW複体である。具体的には、 が1次元のCW複体である場合、 の0-骨格は頂点であり、1-胞体の特性写像は2点からなる空間から の0-骨格への写像 を定める。 無限次元ヒルベルト空間はCW複体ではない。これはベール空間であるため、内部が空な閉集合である骨格の可算和として記述できないためである。 n次元球面は、2つの胞体（1つの0-胞体と1つのn-胞体）によるCW構造を持つ。 n次元実射影空間は、各次元に1つの胞体を持つCW構造を持つ。 グラスマン多様体は、シューベルト胞体と呼ばれるCW構造を持つ。 可微分多様体、代数多様体および射影多様体は、CW複体のホモトピー型を持つ（すなわち、適当なCW複体によってホモトピー同値の意味で近似できる）。 カスプ双曲多様体の1点コンパクト化は、Epstein-Penner分解と呼ばれる、0-胞体（コンパクト化の点）が1つしかない自然なCW分解を持つ。
出典