モジュラー関数空間（モジュラーかんすうくうかん、）または単にモジュラー空間（）は、数学の解析学、特に関数空間論や関数解析学において、バーンバウム＝オルリッチ空間を抽象化および一般化したバナッハ空間の一種である。
抽象的な定義 実または複素線型空間を とする。関数 がモジュラー（）であるとは、任意の に対して以下の条件を満たすことを指す：
正定値性: 対称性: 凸性: のとき、
特に、 を満たすとき、このモジュラーは空間の位相的構造を規定する。さらに、より強い凸性条件（）を満たすものは凸モジュラー（）と呼ばれ、ノルムを導入する基礎となる。
これらの条件の下で、モジュラー関数空間 は次のように定義される：
具体例：測度空間上の構成 抽象的なモジュラー関数空間の最も重要な具体例は、可測関数の増大度を規定するムシェラク＝オルリッチ空間（）である。
をσ-有限測度空間、 を、各点 に対してヤング関数となる可測関数（ムシェラク＝オルリッチ関数）とする。このとき、可測関数全体の空間 上に次の積分
を定義すると、これは凸モジュラーとなる。このモジュラーから生成される空間 が、伝統的にモジュラー関数空間と呼ばれるものである。
動機 Lp空間やバーンバウム＝オルリッチ空間では、空間全体で関数の増大度を規定する指標（指数 やヤング関数 ）が一定である。しかし、物理学における不均一な媒質内の現象や、非ニュートン流体の力学では、場所によって材料特性が動的に変化する。モジュラー関数空間の枠組みは、モジュラー関数を介して、場所依存性（空間的非均質性）や非線形な増大度を抽象的に取り扱うことを可能にしている。
ノルム モジュラー関数空間 には、主に以下の2種類の等価なノルムが導入され、これらに関して空間はバナッハ空間となる。
ルクセンブルクノルム (Luxemburg norm):
オルリッチノルム (Orlicz-Amemiya norm): オルリッチ・アメミヤノルムとも呼ばれ、凸共役性に基づいた定義を持つ。
性質 モジュラー関数空間の構造は、モジュラー関数 とそれから誘導されるノルムの関係によって特徴づけられる。 完備性: 適切な条件下（例えばモジュラー完備であるとき）、モジュラー関数空間はルクセンブルクノルムに関して完備である。ただし、関数列が-コーシー列とは、任意のに対してあるが存在して十分大きな自然数でが成立すること。モジュラー完備とは、-コーシー列がモジュラー収束すること。 ノルムの同値性: 任意の に対して次が成り立つ： 。 モジュラー収束: であることと であることは同値である。 単位球との関係: ルクセンブルクノルムにおいて、 が成り立つ。 下半連続性: モジュラーおよびノルムは、適切な位相（各点収束など）に関して下半連続性を保持する。
応用 可変指数空間: 測度空間上の構成において とした場合、可変指数ルベーグ空間 となり、画像処理や電磁流体力学のモデル化に用いられる。 抽象解析: 凸解析や不動点定理の研究において、距離空間よりも広い枠組みとしてのモジュラー空間が利用される。 偏微分方程式: 非線形弾性理論や変分問題において、エネルギー汎関数をモジュラーとして捉える解析手法が確立されている。
関連項目 バーンバウム＝オルリッチ空間 凸関数 バナッハ空間の一覧 ミンコフスキー汎関数 バナッハ関数空間
参考文献