Во математиката, или поточно во топологијата, отворено пресликување е функција помеѓу два тополошки простора кое пресликува отворени множества во отворени множества. Тоа значи, пресликување е отворено ако за кое било отворено множество во сликата е отворено множество во Слично на тоа, затворено пресликување е функција која пресликува затворени множества во затворени множества. Пресликувањето може да биде отворено, затворено, и отворено и затворено или ниту отворено ниту затворено; (The quoted statement in given in the context of metric spaces but as topological spaces arise as generalizations of metric spaces, the statement holds there as well.) посебно, отворено пресликување не мора да биде затворено и обратно.
Отворените и затворените пресликувања не се нужно непрекинати. Понатаму, непрекинатоста е независна од отвореноста и затвореноста во општ случај и непрекината функција може да има едно, обете или ниту едно од овие својства; овој факт останува вистинит дури и ако се ограничиме само на метрички простори. Иако нивните дефиниции изгледаат поприродни, отворените и затворените мапи се многу помалку важни од непренинатите пресликувања. Потсетете се дека, по дефиниција, функцијата е континуирано ако инверзната слика на секое отворено множество од е отворено во (Еквивалентно, ако инверзната слика на секое затворено множество од е затворено во ).
Раното проучување на отворените пресликувања го започнале Симион Стоилов и Гордон Томас Вајбурн.
Дефиниции и карактеризации Ако е подмножество од тополошки простор, тогаш со и (соодветно ) се означува затворачот (соодветно внатрешноста) на во тој простор. Нека е функција помеѓу тополошки простори. Ако е кое било множество, тогаш се нарекува слика на при
Конкурентни дефиниции Постојат две различни, но тесно поврзани дефиниции на поимот „отворено пресликување“ кои се широко користени. Притоа, обете дефиниции може да се сумираат како: „тоа е пресликување со кое отворени множества се пресликуваат во отворени множества“. Понекогаш се користи следнава терминологија за да се направи разлика помеѓу двете дефиниции.
Едно пресликување се нарекува или ако задоволува некој од следниве еквивалентни услови:
„“ ако за секое отворено множество во доменот , неговата слика е отворено множество во кодоменот на , „" ако за секое отворено множество во доменот , множеството е отворено во сликата на каде вообичаено ова множество е опремено со топологијата на потпросторот индуцирана на него од кодоменот на
Секое силно отворено пресликување е релативно отворено. Сепак, овие дефиниции не се еквивалентни во општ случај.
Предупредување: Многу автори го дефинираат терминот „отворено пресликување“ како „ отворено пресликување“ (на пример, во Енциклопедија на математиката), додека други го дефинираат терминот „отворено пресликување“ како „ отворено пресликување“. Генерално, овие дефиниции се еквивалентни, па затоа е препорачливо секогаш да се провери која дефиниција за „отворено пресликување“ ја користи авторот.
Сурјективно пресликување е релативно отворено ако и само ако е силно отворено; па за овој важен посебен случај дефинициите се еквивалентни. Поопшто, пресликување е релативно отворено ако и само ако сурјекцијата е силно отворено пресликување.
Бидејќи е секогаш отворено множество во сликата на силно отворено пресликување мора да биде отворено подмножество од неговиот кодомен Всушност, релативно отворено пресликување е силно отворено пресликување ако и само ако нејзината слика е отворено подмножество на нејзиниот кодомен. Накратко,
Пресликување е силно отворено ако и само ако е релативно отворени и неговата слика е отворено подмножество на неговиот кодомен.
Со користење на оваа карактеризација, честопати е едноставно да се применат резултатите што вклучуваат една од овие две дефиниции за „отворено пресликување“ во ситуација што ја вклучува другата дефиниција.
Горенаведената дискусија ќе важи и за затворените пресликувања ако секаде зборот „отворено“ се замени со зборот „затворено“.
Отворени пресликувања Пресликување се нарекува ако секое затворено множество од доменот , се пресликува во кое е затворено множество во неговиот кодомен
Дефиниција: ги пресликува отворените множества од својот домен во отворени множества од неговиот кодомен, т.е. за секое отворено множество вo , е отворено множество вo е релативно отворено пресликување и неговата слика е oтворено множество во неговиот кодомен За секој и секоја околина на е околина на Ако во претходниот услов се замени првиот или двата збора „околина“ ги замениме со „отворена околина“, се добива еквивалентен услов: За секој и секоја отворена околина на е околина на За секој и секоја отворена околина на е отворена околина на за сите подмножества на кадe со ја означуваме тoпoлошката внатрешност на множеството. Ако е затворено подмножество на тогаш множеството е затворено подмножество на Ова е последица на идентитетот кој важи за секое
Ако е база на тогаш на оваа листа може да се додаде следниов услов:
ги пресликува базните отворени множества во отворени множества од неговиот кодомен (т.е. за кое било отворено множество од базата е отворено множество во ).
Затворени пресликувања Пресликување се нарекува или ако задоволува некој од следниве еквивалентни услови:
Сурјективно пресликување е релативно затворено ако и само ако е силно затворено. Затоа, за овој важен посебен случај дефинициите се еквивалентни. Поопшто, едно пресликување е релативно затворено ако и само ако сурјекцијата е силно затворено пресликување.
Дефиниција: Со секое затворено множество од неговиот домен го пресликува во затворено множество од неговиот кодомен, т.е. за секое затворено множество oд е затворено множество вo е релативно затворено пресликување и неговата слика е затворено множество во неговиот кодомен за секое подмножество за секое затворено множество за секое затворено множество Ако е отворено множество во , тогаш множеството е отворено множество во Ако е мрежа во и е точка за која во тогаш конвергира во кон множеството Конвергенцијата значи дека секое е отворено множество во кое го содржи ќе го содржи за сите доволно големи индекси
Ако пресликувањето е континуирано, тогаш горенаведениот услов е неопходен и за пресликувањето да биде отворено. Тоа значи, ако е континуирана сурјекција, тогаш таа е отворено пресликување ако и само ако е речиси отворена и го задоволува горенаведениот услов.
Ако во дефиницијата за отворено множество за „непрекинато пресликување“ (тоа е исказот: „инверзната слика на секое отворено множество е отворено множество“), обете инстанци на зборот „отворено“ се заменуваат со „затворено“, тогаш исказот за резултатите („инверзната слика на секое затворено множество е затворено множество“) е на непрекинатоста на пресликувањето. Ова не е случај со дефиницијата за „отворено пресликвање“ („слика на секое отворено множество е отворено множество“) бидејќи исказот што произлегува („слика на секое затворено множество е затворено множество“) е дефиницијата за „затворена мапа“, што генерално е еквивалентно на отвореноста на пресликувањето. Постојат отворени пресликувања кои не се затворени, а постојат и затворени пресликувањето кои не се отворени. Оваа разлика помеѓу отворени/затворени пресликувања и непрекинати пресликувања во крајна линија се должи на фактот дека за кое било множество само инклузијата е секогаш точна, додека кај инверзните пресликувања важи и обратната инклузија, т.е. секогаш важи равенството .
Дефиниции и карактеризации
Ако е подмножество од тополошки простор, тогаш нека и (соодветно ) означува затворач (односно внатрешност) на во тој простор. Нека е функција помеѓу тополошки простори. Ако е кое било множество тогаш се нарекува слика на при
Конкурентни дефиниции Постојат две различни конкурентни, но тесно поврзани дефиниции за „ “ кои широко се користат, а обете дефиниции можат да се сумираат како: „тоа е пресликување со кое отворени множества се пресликуваат во отворени множества“. Следната терминологија понекогаш се користи за да се направи разлика помеѓу двете дефиниции.
Пресликувањето се нарекува
„“ ако за секое отворено множество на доменот , е отворено множество во кодоменот „" ако за секое отворено множество на доменот , е отворено множество во сликата каде, како вообичаено, ова множество е опремено со наследената топологија индуцирана од онаа на кодоменот на - „
Секое силно отворено пресликување е релативно отворено пресликување. Сепак, овие дефиниции не се еквивалентни во општ случај.
Предупредување: Многу автори го дефинираат терминот „отворено пресликување“ како „ отворено пресликување“ (на пример, Енциклопедијата за математика), додека други го дефинираат терминот „отворено пресликување“ како „ отворено пресликување“. Општо земено, овие дефиниции се еквивалентни, па затоа е препорачливо секогаш да се провери која дефиниција за „отворено пресликување“ ја користи авторот.
Сурјекцијата е релативно отворено ако и само ако е силно отворено; па за овој важен посебен случај дефинициите се еквивалентни. Поопшто, пресликувањето е релативно отворено ако и само ако е суркцијата и силно отворено пресликување.
Бидејќи е секогаш отворено подмножество од сликата на силно отворено пресликување мора да биде отворено подмножество од неговиот кодомен Всушност, релативно отворено пресликување е силно отворено пресликување ако и само ако нејзината слика е отворено подмножество од нејзиниот кодомен. Накратко,
пресликување е силно отворено ако и само ако е релативно отворено и нејзината слика е отворено подмножество на нејзиниот кодомен.
Со користење на оваа карактеризација, честопати е едноставно да се применат резултатите што вклучуваат една од овие две дефиниции за „отворено пресликување“ во ситуација што ја вклучува другата дефиниција.
Горенаведената дискусија ќе важи и за затворени пресликувања ако во секоја инстанца зборот „отворено“ се замени со зборот „затворено“.
Отвори пресликувања Пресликување се нарекува или ако задоволува некој од следниве еквивалентни услови:
Дефиниција: пресликува отворени множество од неговиот домен во отворени множества од неговиот кодомен, т.е. за секое отворено множество oд , е отворено во е релативно отворено пресликување и неговата слика е отворено множество во неговиот кодомен За секој и секоја нејзина околина (произволно мала), е околина на . Може да ја замениме првата или двете појавувања на зборот „околина“ со „отворена околина“ во овој услов и резултатот ќе биде еквивалентниот услов: за секој и секоја отворена околина на , е околина на . за секој и секоја отворена околина на , е отворена околина на . за секое подмножество на кадe означува тополошка внатрешност на множеството. Кога е затворено множество во , тогаш множеството е затворено множество во Ова е последица на идентитетот кој важи за секое подмножество
Ако е база за , тогаш следново својство може да се додаде на горната листа:
го пресликува секое отворено множество од базата во отворено множество од неговиот кодомен, т.е. за секое отворено множество од базата множеството е отворено множество во ).
Затворени пресликувања Пресликувањето се нарекува ако за секое затворено множество од доменот , е затворено множество во сликата каде, како вообичаено, ова множество е опремено со наследената топологија индуцирана од онаа на кодоменот на - „
Мапа се нарекува или ако задоволува некој од следниве еквивалентни услови:
Дефиниција: пресликува затворени множество од неговиот домен во затворени множества од неговиот кодомен, т.е. за секое затворено множество oд , е затворено во е релативно затворено пресликување и неговата слика е затворено множество во неговиот кодомен за секое подмножество за секое затворено подмножество Кога е отворено множество во , тогаш множеството е отворено множество во Ако е мрежа во и е точка таква што во тогаш кoнвeргира во кон множеството Конвергенцијата значи дека секое отворено множество вo кое го содржи ќе го содржи за сите доволно големи индекси