Хиперболичен тангенс — хиперболична функција во математиката.
Дефиниција Функцијата хиперболичен тангенс, означена со tanh (или th), е следнава комплексна функција:
каде што е хиперболичната синусна функција, а хиперболичната косинусна функција.
Оваа дефиниција е аналогна на онаа на тангенсната функција како однос на синусот и косинусот, а згора на тоа, имаме (за сите (од доменот на дефиницијата) или дури за сè .
Хиперболичниот тангенс може да се изрази со помош на експоненцијалната функција:
Својства
Општи својства
Во својот домен на дефиниција, tanh е холоморфен (значи непрекинат, па дури и бесконечно диференцијабилен ), со извод еднаков на значи tanh е решение на диференцијалната равенка (што е Рикатиева равенка, чие општо решение е ). Периодична е, со период од . Тоа е непарна функција. Таа ја потврдува формулата за собирање Нејзиното ограничување на ℝ е строго растечка бијекција од ℝ до ]–1, 1[. Во ℝ, антидериват на tanh е .
Развивање во Тејлоров ред Развивањето во Тејлоров ред на 0 од tanh е изразено со користење на Бернулиевите броеви , дефинирани со следните степени на низа (со полупречник на конвергенција ):
Полупречникот на конвергенција на оваа цела низа е .
Развивање во континуирани фракции Во 1761 година, Јохан Хајнрих Ламберт покажал дека едно од разивањата во обопштена верижна дропка на функцијата tanh е:
како и општа теорема што ни овозможува да заклучиме дека експоненцијалот на кој било рационален број што не е нулти е ирационален број (види „Верижна дропка и Диофантова апроксимација“).
Вредности Некои вредности на tanh:
Инверзна функција Инверзната бијекција на ограничувањето на tanh на ℝ, наречена хиперболичен тангенсен аргумент и означена со (или или или понекогаш ) , се изразува со:,каде што го означува природниот логаритам.
Поопшто, функцијата се ограничува на бијекција од ℝ + до ℂ\ , чија инверзна функција е опишана со:,каде што означува главна определба на комплексен логаритам.
Всушност, за сите во доменот на дефиниција на , комплексот е сликата на под функцијата.
Сега оваа функција е бијекција од ℂ\{–1} до ℂ\{1}, со инверзно = , и го пресликува ℂ\ℝ во ℂ\ .
Функцијата е холоморфна на отворено множество и го признава развојот во целиот ред:
во затворениот единичен диск без 1 и –1.
Примена
Категорија:Хиперболични функции Категорија:Категории на Ризницата со месна врска иста како на Википодатоците