мини|140x140пкс| Питагорова теорема: Збирот на плоштините на квадратите конструирани над катетите ( и ) е еднаков на плоштината на квадратот над хипотенузата (). Во математиката, Питагоровата теорема ја изразува врската што постои помеѓу трите страни на правоаголен триаголник во Евклидовата геометрија. Ако a и b се катетите, а c хипотенузата на правоаголен триаголник, важи еднаквоста:
односно изразено со зборови:
Теоремата го добила името по старогрчкиот математичар Питагора, за кој традиционално се смета дека ја открил и докажал,Heath,, pp. 144 иако денес е сигурно дека била позната многу пред Питагора.
Питагоровата теорема е една од најосновните и најважните математички теореми. Препознатливата слика на правоаголен триаголник со конструирани квадрати на сите три страни, користена за визуелна претстава на самото тврдење, послужила како основа за генерирање на фракталот наречен Питагорово дрво.
Историја мини|300x300пкс| Визуелен доказ на Питагоровата теорема за триаголник чии страни се Питагорова тројка (3, 4, 5) од еден од најстарите кинески математички текстови, 500–200 г. пр. н. е. Историски гледано, откривањето и разбирањето на Питагоровата теорема поминало низ неколку фази:
алгебарско истражување на постоење на Питагорова тројка, подобро разбирање на односот помеѓу страните на правоаголен триаголник, односно односот помеѓу соседните агли на триаголникот, што е последица на стекнување на сè поголеми знаења за рамнините и површините и наоѓање голем број на различни докази на теоремата.
Древни цивилизации Врската што постои помеѓу страните на триаголникот чии должини се 3, 4 и 5 им била позната уште на Вавилонците, 2000 г. пр. н. е. а може да се најде и во познатата кинеска книга Девет книги за математичка вештина, која се претпоставува дека е напишана околу 1100 година пр. н. е.Smith,, pp. 288
Познатата вавилонска глинена плоча која го носи бројот 322 во Плимптоновата збирка е таблица од Питагорови тројки со 15 реда создадена во 1800 пр. н. е. Старите Египќани знаеле за четири Питагорови тројки, како што е потврдено во папирус датиран за време на владеењето на XII династија, околу 2000 пр. н. е., во која меѓу другото е можно да се најде и односот:
.Smith,, pp. 288
Таа е еквивалентно на Питагоровата тројка (3, 4, 5) ако изразот се прошири за да се ослободи од дропките.
Питагоровите тројки може да се најдат и во Сулвасутрите, светите песни на хиндусите, од 5-4 век пр .н. е., кои кажуваат за начинот на добивање прави агли со помош на јаже со 3-4-5, т.е. 12-16-20, 15-20-25, 5-12-13, 15-36-39, 8-15-17 и 12-35-37 јазли врзани на еднакви растојанија. Користењето јаже за одредување прав агол имало своја практична примена во древно време, на пример парцелизирање на земјиштето, а луѓето што се занимавале со тоа биле наречени затегнувачи на јаже ().Стројк, Кратак преглед историје математике, pp. 21 Сепак, според некои автори, малку е веројатно дека Египќаните всушност користеле јаже со 12 јазли за да одредат прав агол, и нема очигледни докази дека знаеле дека триаголникот со страни (3, 4, 5) е правоаголен.Maor,, pp. 15
Питагора Традиционално, откривањето на теоремата му се припишува на Питагора, старогрчки филозоф и научник, кој денес е познат посредно преку подоцнежните извори. Според нив, Питагора е роден околу 570 г. пр. н. е. на островот Самос, веројатно бил ученик на Талес, а дел од својот живот го поминал патувајќи низ Египет и Персија, така што, по враќањето во родниот Самос, наишол на тиранската власт на Поликрат, за што се верува, дека била причина да се пресели во Кротон каде ја основал познатата Питагорејската школа.Maor, The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History, pp. 17. Питагорејците тврделе дека теоремата ја открил Питагора и дека во знак на благодарност им жртвувал стотина бикови на боговите.Стројк, Кратак преглед историје математике, pp. 52 Проблемот со прецизното утврдување на правата вистина е последица на тоа што Питагорејците усно го пренесувале стекнатото знаење, кое се сметало за свето и било строго чувано. Покрај тоа, новите откритија често му се припишувале на голем учител, додека вистинскиот пронаоѓач останувал непознат. Ова е поткрепено со фактот дека името на Питагора не се споменува никаде во изјавата за теоремата што се појавува во Евклидовите Елементи.Maor, The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History, pp. 42. Денес постојат неколку хипотези:
Питагора ја презел теоремата од Вавилонците, односно бил само посредник помеѓу знаењето што доаѓало од Исток и Грците. Иако, според античките извори, Питагора ги посетил Египет и Вавилон, оваа инобликција не е сигурна. Питагора ја формулирал и докажал теоремата за прв пат независно од вавилонските извори. Овој пристап бил широко прифатен во древно време. Питагора слушнал за теоремата на неговите патувања, но тој бил првиот што го докажал тоа. Сосема е јасно дека ниту Египќаните ниту Вавилонците не отишле подалеку од секојдневната примена на теоремата за практични цели. На пример, во Каирскиот папирус, откриен во 1938 година, а дешифриран во 1962 година, има 40 математички задачи, од кои девет се решени со помош на Питагоровата теорема. Една од тие задачи гласи:
„Скала долга 10 лакти е потпрена на ѕид, така што нејзината основа е 6 лакти од работ на ѕидот. Колку високо се протега таа скала?“ Меѓутоа, иако теоремата се користи во решавањето на проблемот, нема обид да се обопшти, ниту да се докаже.
Питагора не учествувал во откривањето на теоремата, но првиот доказ го пронашле неговите студенти.
Првото зачувано дело во кое Питагора се поврзува со исказот на теоремата е Плутарховиот Етички зборник - Моралија, напишан на крајот на првиот или почетокот на вториот век од новата ера. Во него се наведуваат стихови од едно незачувано Аполодорово дело од вториот век пр. н. е. Според Плутарх,
Истите стихови ги наведува Атенеј од Невкратис, во неговото дело Гозба на учените, на почетокот на третиот век од нашата ера.
Следбеници Првиот писмен доказ за Питагоровата теорема се појавува само 150 години подоцна, во првата и шестата книга од Евклидовите Елементи, каде што, според Прокло, доказот од шестата книга е единствениот изворен Евклидов доказ во Елементите, додека доказот од првата книга му се припишува на Евдокс.
Околу 250 пр. н. е. Архимед приближно ја одредува вредноста на бројот Пи користејќи ја Питагоровата теорема и впишани и опишани многуаголници во круг. Во 2 век пр. н. е., Клавдиј Птоломеј ја докажува теоремата во неговиот Алмагест:
„Производот на дијагоналите на тетивен четириаголник е еднаков на збирот на производите на неговите спротивни страни.“
Оттука, во посебниот случај кога тетивниот четириаголник е всушност правоаголник, се добива Питагоровата теорема.
Херон од Александрија подоцнаЗбог недостатка извора тешко је одредити када се то тачно десило. Према књизи у питању је период између 100. п. н. е. и 100. године н. е. ја докажал формулата со која може да се пресмета плоштината на произволен триаголник преку неговите страни користејќи пропорции. Денес, таа формула се докажува со помош на Питагоровата теорема.
Во 3 век од нашата ера Пап Александриски докажал проширена верзија на Питагоровата теорема која се применува на произволен триаголник, а шест века подоцна, Ал Харани дал доказ за друго обопштување што се применува на произволен триаголник.
Формулирање на теоремата мини|200x200пкс| Визуелен доказ на Питагоровата теорема Според теоремата:Во кој било правоаголен триаголник, плоштината на квадратот конструиран над хипотенузата (страната спроти правиот агол) е еднаква на збирот на плоштините на квадратите конструирани над катетите (страните што се среќаваат во правиот агол на триаголникот).Овој исказ обично се наведува во следниов облик:
Ако c е должината на хипотенузата, а a и b се должините на преостанатите две страни, теоремата може да се напише користејќи ја следната еднаквост:
или, изразено од таму:
Ако хипотенузата е позната и треба да се одреди една од катетите, можно е да се користи една од следните две еднаквости (кои се добиваат од почетната еднаквост, со решавање на соодветната непозната):
или
Од наведените еднаквости може да се забележи дека односот меѓу страните на правоаголен триаголник е таков што, во случај една од нив да е со непозната должина, може да се определи со помош на преостанатите две познати страни. Обопштувањето на оваа теорема, позната како косинусна теорема, овозможува пресметување на должината на третата страна на произволен триаголник, ако се познати должините на преостанатите две страни и големината на аголот што тие го покриваат, што е една од поставките на задачата наречена решавање на триаголник. Ако познатите страни определат прав агол, косинусната теорема се сведува на Питагоровата теорема.
Неевклидски геометрии мини|131x131пкс| Сферичен триаголник Во сферната геометрија, на единичната сфера, за правоаголен сферен триаголник ABC чии должини на страните се соодветно a, b и c, Питагоровата теорема има облик:
Доколку полупречникот на сфера е со должина РРР, еднаквоста станува:
Оваа еднаквост се добива како специјален случај на косинусната теорема за сферен триаголник. Доколку косинусната функција се развие со помош на Маклореновиот ред, можно е да се покаже дека наведениот облик на Питагоровата теорема ќе се приближува на својот евклидски еквивалент кога полупречникот на сферата тежи кон бескончност.
Во хиперболична рамнина претставена со Поенкаревиот модел на диск, ако е правоаголен триаголник со катети и хипотенуза, Питагоровата теорема има облик:
За доказ погледати
каде хиперболичниот косинус е дефиниран со:
Хилбертови простори Вообичаена норма на реалниот Евклидов простор се воведува со користење на скаларен производ . Векторскиот простор со норма воведена со помош на скаларен производ се нарекува предхилбертов простор. Ако предхилбертовиот простор е комплетен во однос на неговата метрика, тој се нарекува Хилбертов простор. Ова е секогаш случај во конечнодимензионални простори како што е , но бесконечнодимензионалните предхилбертови простори не мора да бидат Хилбертови.
Ако е во реален простор со скаларен производ (предхилбертовиот простор) воведена норма на векторот со:
,
со соодветните својстваЗа особине погледати Д. Аднађевић, З. Каделбург,Математичка анализа , pp. 268, потоа за ортогонални вектори и Питагоровата теорема добива облик:
.
Докази Со векови, Питагоровата теорема служела како вдахновение за нови математички докази, кои ги пронашле и луѓе кои не биле професионални математичари. Во книгата Питагорово тврдење () од Елиша Скот Лумис ( ), првично објавена во 1927 година, која била дополнета со нови докази во 1940 година, можно е да се најдат сите познати докази до нивното објавување, вкупно 371. Меѓу другото, таму се наведени Питагоровиот и Евклидовиот доказ, потоа најкраткиот и најдолгиот доказ кој му се припишува на Лежандр, па Птоломеевиот, Леонардовиот, Хајгенсовиот и Лајбницовиот, како и доказот на Џејмс Гарфилд, од времето пред да стане претседател на САД.Maor, The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History
Питагоров доказ