мини|десно|300п|Површински бранови во вода
Бран — нарушување или треперење кое се движи низ материјата или просторот, придружено со пренос на енергија. Брановото движење ја пренесува енергијата од една точка до друга, најчесто со непостојано поместување на честичките на средината, односно без пренос на маса. Тие се состојат од треперења или вибрации околу една иста местоположба. Брановите се опишани со бранова равенка која покажува како нарушувањето се распределува со текот на времето. Математичкиот запис на оваа равенка се менува во зависност од видот на бранот.
Постојат два вида на бранови. Едните се механички бранови кои се движат низ средината, и истата таа средина се деформира. Деформацијата се поништува со помош на еластичната сила која настанува поради деформацијата. На пример, звучните бранови се движат низ молекулите на воздухот судирајќи се со нивните соседни молекули. Кога молекулите на воздухот се судираат, истовремено и отскокнуваат една од друга (еластична сила). Ова ги спречува молекулите да продолжат да се движат во насоката на бранот.
Вториот вид на бранови се електромагнетните бранови, кои за своето простирање немаат потреба од средина. Наместо тоа, тие се состојат од периодични треперења на електричното и магнетното поле, коишто пак се создадени од наелектризирани честички, и поради ова истите можат да се движат низ вакуум. Овие видови на бранови се со различни бранови должини, и според тоа тие се поделени на: радиобранови, микробранови, инфрацрвено зрачење, видлива светлина, ултравиолетова светлина, рендгенски зраци, и гама-зрачење.
Понатамошно, однесувањето на честичките во квантната механика се опишани со помош на бранови. Понатамошно, гравитациските бранови исто така патуваат низ просторот, кои се резултат на вибрација или движење на гравитациските полиња.
Бранот може да биде попречен или надолжен во зависност од насоката на нивното треперење (осцилирање). Попречните бранови сè добиваат кога нарушувањето создава треперења нормални на насоката на движењето. Лонгитудиналните бранови сè добиваат кога треперењата се паралелни со насоката на движење. Додека пак механичките бранови можат да бидат попречни и надолжни, сите електромагнетни бранови се попречни.
Општи одлики
Не постои единствена, сеопфатна дефиниција за бран. Вибрацијата може да се дефинира како движење напред-назад околу одредена вредност. Како и да е, вибрацијата не е секогаш бран. Обидот да се дефинираат потребните и одредените одлики кои ја опишуваат појавата и истите да се наречат бран се добива неопределена граница.
Поимот бран најчесто е замислен како просторно нарушување кое не е проследено со движење на средината која го опфаќа просторот како целина. Кај бранот, енергијата на вибрацијата се оддалечува од изворот во вид на нарушување на околната средина. Како и да е, ова согледување е проблематично кај стојните бранови (на пример, браново движење на жица), каде енергијата се движи во двете насоки подеднакво, или пак за електромагнетните (на пример, светлината) бранови во вакуум, каде идејата за средина не е од корист и заемодејството со метата е клучот за забележување на бранот и практичната примена. Постојат водни бранови на површината на океаните, гама-бранови и светлински бранови оддадени од Сонцето, микробрановите кои се користат кај микробрановите печки и кај радарската опрема, радиобрановите оддадени од радиостаниците и звучните бранови кои се создаваат од радиоприемниците, телефонските уреди и живите суштества (преку гласовите), се само дел од брановите појави.
Може да се забележи дека описот на брановите е тесно поврзано со нивното физичко потекло за секој поединечен случај на брановиот процес. На пример, акустиката се разликува од оптиката на тој начин што звучните бранови се поврзани отколку со електромагнетните бранови чиј пренос е овозможен од вибрациите. Поимите како маса, импулс, инерција, или еластичност, се од огромно значење за опишување на акустичните (за разлика од оптичките) бранови процеси. Оваа разлика во потеклото воведува одредени бранови одлики карактеристични за средината низ која се простира бранот. На пример, во случајот со воздухот: витлите, притисокот на зрачењето, ударните бранови итн., додека пак во случајот со цврстите тела: Рејлиевите бранови, распрскувањето, и така натака.
Други одлики, иако опишани преку потеклото, можат да бидат важечки за сите видови на бранови. Поради овие причини, брановата теорија претставува одредена гранка од физиката која се занимава со одликите на брановите процеси независно од нивното физичко потекло. На пример, засновајќи се на механичкото потекло на акустичните бранови, подвижното нарушување во време-просторот постои само и само ако средината низ која се движат е бесконечно цврста или бесконечно мека. Ако сите составни делови на една средина се цврсто сврзани, тогаш сите ќе вибрираат како една целина, без задоцнување на преносот на вибрациите и поради тоа ќе отсуствува браново движење. Од друга страна, сите делови се независни, тогаш нема да има никаков пренос на вибрациите и повторно, нема да постои браново движење. Иако изнесените тврдења се безначајни во случајот со брановите кои немаат потреба од средина за да се придвижат, прикажуваат одлики кои се од важност за сите бранови без разлика на потеклото: кај брановите, фазата на вибрацијата е поразлична за две соседни точки во просторот бидејќи вибрацијата пристигнува до овие точки во различни временски периоди.
Слично, брановите процеси покажуваат од проучувањето на брановите дека само звучните бранови можат да се од значајност за разбирање на звучните појави. Важен пример е Јанговото начело на интерференција. Ова начело е првично претставено со Јанговото проучување на светлината и на некој начин е тема на проучување на звукот и до ден денес.
Математички опис на еднодимензионален бран
Бранови равенки
Да се замисли дека попречен бран (кој може да биде пулс) на жица (средина). Да се претпостави дека жицата има една просторна димензија. да се претпостави дека истиот бран се движи
мини|десно|200п|Брановата должина λ, може да се измери помеѓу кои и да се две точки на брановата форма
во просторната насока . Пример, нека позитивната насока биде од десната страна, а негативната насока на нека биде на лево. со постојан замав со постојана брзина , каде е независна од брановата должина (не е распрскувањето) независна од замавот (линиска средина, не е нелиниска). со постојан бранов облик, или облик
Овој бран може да се опише со дводимензионални функции
(бранов облик кој патува десно) (бранов облик кој патува лево)
или, поопшто, со помош на Даламберовата формула:
каде се претставени дводелни бранови форми и кои патуваат низ средината во спротивни насоки. Општ приказ за бранот може да се добие како парцијална диференцијална равенка
Општите решенија се засновани на Диjамеловото начело.
Бранови облици
мини|десно|350п|Приказ на синусен, квадратен, триаголен и назабен бран.
Обликот или формата F во Даламберовата формула го вклучува записот x − vt. Постојаните вредности на записот се во согласност со постојаните вредности на F, и овие постојани вредности се добиваат ако x се зголемува за ист чекор како што се зголемува vt. Всушност, брановите имаат облик како функцијата F ќе се помести во позитивна насока x со брзина v (и G кое ќе се движи со истата брзина но во негативната насока на x).
Во случај на периодична функција F со период λ, која се запишува како, F(x + λ − vt) = F(x − vt), периодичноста на F во просторот означува дека е отсликан бранот во определено време t се добива дека бранот се менува периодично во просторот со период λ (брановата должина на бранот). На сличен начин, оваа периодичност на F ја означува и периодичноста на времето: F(x − v(t + T)) = F(x − vt) преку vT = λ, па набљудувањето на бранот на статична местоположба x одредува дека бранот се движи периодично со временски период T = λ/v.
Замав и модулација
мини|десно|Приказ на опколникот (бавно променливата црвена крива) на замавно-модулиран бран. Брзо променливата сина крива е носечкиот бран, кој е под дејство на модулацијата.
Замавот на бранот може да биде постојан (и во тој случај станува збор за п.б. или постојан бран), или може да биде модулиран така што ќе се менува со времето и/или местоположбата. Границата на промената на замавот се нарекува опколник на бранот. Математички, модулираниот бран може да се запише во обликот:
каде е опколникот на замавот на бранот, е брановиот број и е фазата. Ако групната брзина (погледај подолу) е браново должински независна, ова равенство може да се упрости на следниов начин:
со што се покажува дека опколникот се движи со групната брзина и го задржува сопствениот облик. Во спротивно, во случаите каде групната брзина се менува со брановата должина, обликот на пулсот се менува на начин често опишан со употреба на опколната равенка.
Фазна брзина и групна брзина
Постојат две брзини кои се поврзани со брановите, тоа се: фазната брзина и групната брзина. За да се објаснат истите, потребно е да се разгледаат различни видови на бранови облици. За поедноставување, испитувањето се одвива во една димензија.
Наједноставниот облик на бран (облик на рамнински бран) може да се изрази преку обликот:
кој може да се поврзе со обичниот синусен и косинусен облик со користење на Ојлеровата равенка. Со презапишување на обликот, , станува јасно дека со овој израз се опишува вибрацијата на брановата должина кој се движи во насока на x со постојана фазна брзина .
Другиот вид на бран може да се искористи е статична структура опишана со обиколник, кој може математички да се опише на следниов начин:
каде сега A(k1) (интегралот е обратната Фурјеова трансформација на A(k1)) и е функција која покажува остри врвови во областа на брановите вектори Δk околу точката k1 = k. Во експоненцијалната форма гласи:
каде Ao е големината на A. На пример, чест избор за Ao е Гаусов бранов пакет:See, for example, Eq. 2(a) in
каде σ го определува ширењето на k1-вредности околу k, и N како ознака за замавот на бранот.
Експоненцијалната функција во интегралот за ψ трепери забрзано, ако φ(k1), и истото се променува забрзано, експоненцијалите се поништуваат, интерферираат и се поништуваат, придонесувајќи незначително кон ψ. Како и да е, постои исклучок во местоположбата каде записот φ на експоненцијалот се променува помалку. (Ова набљудување е основата на овој метод на стационарна фаза за определување на овие интеграли.) Условот за малата промена на φ зависи од малата промената на k1, оваа стапка на промена е:
каде пресметките се направени за k1 = k бидејќи A(k1) е заснована во центарот. Овој резултат ја прикажува местоположбата на x каде фазата се менува пополека, местоположбата каде ψ е од значајност, се движи во временски период со брзина наречена групна брзина:
Групната брзина зависи од законот за распрскување кои ги поврзува ω и k. На пример, во квантната механика енергијата на честичката е претставена како бранов пакет со запис E = ħω = (ħk)2/(2m). Последично, за оваа бранова ситуација, групната брзина е:
со што брзината на определената честичка во квантната механика е и групната брзина. Бидејќи групната брзина се менува преку k, обликот на брановиот пакет се проширува со текот на времето, и честичката станува помалку просторно определена. Со други зборови, брзината на составните бранови од брановиот пакет патуваат со чекор кој се менува во зависност од брановата должина, па така некои се движат побрзо од останатите, и не можат да ја одржат истата интерференциска шема како што бранот се движи.
Синусоидни бранови
мини|десно|Синусоидните бранови се слични на едноставно хармониско движење.
Математички, наједноставниот бран е (просторниот) еднодимензионален синусен бран (или хармониски бран или синусоида) со замав опишан од равенката:
каде