Бројчена анализа (бројчена анализа) — област на математиката која изучува алгоритми кои користат бројчени апроксимации (за разлика од општите симболички манипулации) за задачите и проблемите на математичката анализа (која што се разликува од дискретна математика). Еден од најраните математички написи е Вавилонската плоча од Вавилонската колекција во Јеил (од 1800г. -1600г. п.н.е.) која дава бројчени апроксимации (приближувања) на како должина на дијагоналата во единечен квадрат во броен систем со основа 60. Од исклучително значење е да може да се пресметаат страните на еден триаголник, а со тоа да може да се пресметаат и квадратни корени. Ова е од големо значење во областа на астрономијата, столаријата и градежништвото. Бројчената анализа ја продолжува долгогодишната традиција на практичните математички пресметки (пресметки).
Слично како Вавилонската апроксимација за , модерната бројчена анализа не бара точни (егзактни) одговори бидејќи точните (егзактни) одговори е најчесто невозможнo да се добијат во пракса. Наместо тоа голем дел од бројчената анализа се концентрира на добивање на приближни решенија во рамките на разумните граници на грешки. Бројчената анализа наоѓа примена во сите области на инжeнерството и физичките науки, но во 21-от век исто така наоѓа примена и во општествените науки, па дури и во уметноста постојат усвоени елементи од бројчени пресметки. Обичните диференцијални равенки се појавуваат во небесната механика (планети, ѕвезди и галаксии), бројчената линеарна алгебра е важна за анализата на податоци; стохастичките диференцијални равенки и Марковите вериги се од суштинско значење во симулирањето на однесувањето на живите клетки во медицината и биологијата. Пред појавата на современите компјутери, бројчените методи често зависеле од рачна интерполација на големи печатени табли. Наместо тоа од средината на 20 век компјутерите почнале да ги пресметуваат потребните функциски вредности. Меѓутоа интерполационите формули сепак продолжуваат да се користат како дел од софтверот за решавање на диференцијални равенки. Општ вовед Општата цел во полето на бројчената анализа е дизајн и анализа на техники потребни да се добијат приближни, со однапред зададена точност, решенија за сложени проблеми, чија разновидност може да се види низ следново: Напредните бројчени методи се од суштинско значење за временските предвидувања да бидат бројчени изводливи Пресметување на траекторијата на вселенското летало бара прецизни бројчени решенија на системи од обични диференцијални равенки. Автомобилските компании можат да ја подобрат безбедноста на нивните возила од сообраќајни несреќи со користење на компјутерски симулации на истите. Симулациите во суштина се состојат од бројчено решавање на парцијални диференцијални равенки. Приватните инвестициски фондови користат алатки од сите области на бројчената анализа за да ги пресметуваат вредностите на акциите и производите од другите учесници на пазарот. Авионските линии користат софистицирани алгоритми за оптимизација при донесување на одлуките за цените на билетите, авионите и членовите на екипажот, како и потребите за гориво. Историски гледано, такви алгоритми се развиени во рамките на областите кои се преклопуваат со операционите истражувања. Осигурителните компании користат бројчени програми за статистички анализи. Историја Областа на бројчената анализа масовно се користела пред развојот на модерните компјутери. Линеарната интерполација била во употреба пред повеќе од 2000 години. Многу големи математичари од минатото биле преокупирани со бројчена анализа, што се гледа од имињата на некои важни алгоритми како на пример Њутнов метод, Лагранжова интерполација на полином, Гаусова елиминација или Ојлеров метод. За да се олеснат рачните пресметки, големите книги биле произведени со додатоци на формули и табели на податоци, како што се интерполација на точки и коефициенти на функции. Користењето на овие табели кои се често пресметани до 16 децимални места или повеќе за некои функции, можеле директно да се вклучат во веќе дадените формули и да се постигнат многу добри бројчени проценки и решенија на некои функции. Канонската работа во оваа област е дадена во книгата објавена од страна на Националниот институт за стандарди и технологија на САД, уредена од Абрамовиќ и Стегун. Тоа е книга со над 1000 страници во која се дадени и обработени голем број на најчесто користени формули и функции и нивните вредности во многу точки. Функциските вредности веќе не се користат многу често поради појавата на модерниот компјутер, меѓутоа голем број на формули сè уште можат да бидат корисни и користени. Механичкиот калкулатор бил развиен како алатка за рачно пресметување. Овие калкулатори еволуирале во електронските компјутери во 1940 година, а потоа било откриено дека овие компјутери можат да бидат користени и за административни цели. Пронаоѓањето на компјутерите влијаело во областа на бројчената анализа бидејќи оттогаш можеле да се вршат долги и сложени пресметки за многу кратко време. Директни и итеративни методи Директните методи го пресметуваат решението на еден проблем во конечен број чекори. Овие методи даваат прецизен одговор, кога би биле изведени во аритметика на бесконечна прецизност. Како пример за такви методи можат да се наведат Гаусовата елиминација, метод на QR-факторизација за решавање на систем на линеарни равенки и симплекс методот на линеарно програмирање. Во пракса се користи конечна прецизност и резултат е апроксимација на вистинското решение. мини|Пр: Да се реши равенката: 3x3 + 4 = 28 за непозната вредност x. Директна метода 3x3+4=28 Одземете 4 3x3=24 Поделете со 3 x3=8 Земете кубен корен x = 2. За итеративен метод се применува метод на преполовување f(x) = 3x3 − 24. Првичните вредности се и a = 0, b = 3, f(a) = −24, f (b) = 57. Итеративен метод a b средина f(средина) 0 3 1.5 −13.875 1.5 3 2.25 10.17... 1.5 2.25 1.875 −4.22... 1.875 2.25 2.0625 2.32... Од оваа табела можеме да заклучиме дека решението е помеѓу 1.875 и 2.0625. Решение може да биде било кој број во тој опсег со грешка помала од 0.2. За разлика од директните методи кај итеративните методи не се очекува да завршат во конечен број чекори. Почнувајќи од почетно приближување, итеративните методи формираат сукцесивна апроксимација која конвергира до прецизното решение единствено во границата на однапред зададена точност. Тестот на конвергенција кој обично опфаќа остаток, се специфицира за да се одреди кога е најдено доволно прецизно решение. Дури кога би се користела и аритметика на бесконечна прецизност овие методи не би дошле до решение во конечен број чекори. Примерите ги опфаќаат Њутновиот метод, метод на преполовување и Јакобиевата итерација. Во компјутерската матрична алгебра, итеративните методи се генерално неопходни за решавање на големи проблеми. Итеративните методи почесто се среќаваат отколку директните методи во бројчената анализа. Некои методи во принцип се директни, но обично се применуваат како итеративни на пример: GMRES (Метод за генерализација на минимални остатоци) и методот на конјугиран градиент. За овие методи бројот на чекори кои се неопходни за да се добие прецизно решение е толку голем што апроксимацијата се прифаќа исто како кај итеративната метода. Дискретизација Континуираните проблеми понекогаш мора да се заменат со дискретни проблеми чие решение е познато, за да тоа решение се апроксимира на континуиран проблем. Овој процес се нарекува дискретизација. Еден пример за дискретизација е кога решението на диференцијална равенка, кое е функција, треба да биде претставено со ограничен број податоци, на пример преку нејзината вредност во ограничен број на точки како нејзин домен, иако вистинскиот домен е интервал, т.е. континуирано множество вредности. = Дискретизација и бројчена интеграција ==== Пример:Во двочасовна трка, ќе се мери брзината на автомобилот во три временски моменти и податоците се евидентирани во следната табела Време 0:40 1:20 2:00 км/ч 140 150 180 Ако се направи дискретизација, би требало да каже дека брзината на автомобилот била константна од 0:00 до 0:40, а потоа од 0:40 до 1:20 и конечно од 1:20 до 2:00. На пример, вкупното растојание во првите 40 минути е апроксимативно околу (2/3 h × 140 км/ч) = 93.3 км. Ова ќе ни овозможи да се процени вкупното поминато растојание како што е 93.3 км +100 км + 120 км = 313.3 км, што е пример за бројчена интеграција
== Генерирање и ширење на грешки== При решавање на многу практични проблеми, теориската математика може да докаже дека постои решение или дека е единствено, ама не и да даде постапка со која се доаѓа до тоа решение. Затоа бројчената анализа има за цел да го пронајде приближното бројчено решение на одреден проблем кое би можело да се искористи во различни инженерски дисциплини, како на пример софтверското инженерство. Во софтверското инженерство најчесто се користат итеративни постапки, чие решение се приближува до точното, но заради конечниот број на повторувања секогаш отстапува од точното. Отстапувањето на приближното решение од точното решение претставува грешка која може да биде: апсолутна грешка релативна грешка грешка на приближните вредности на функцијата и сл. Грешките се јавуваат заради бројчената постапка, како и заради грешките на дадените податоци. Според потеклото грешките можат да бидат: грешка од заокружување методска грешка системска грешка Проучувањето на формите на грешките е значаен дел од бројчената анализа. Постојат неколку начини преку кои грешката може да биде вклучена во решението на проблемот.
=== Заокружување=== Грешките од заокружување се јавуваат бидејќи е невозможно прецизно да се претстават сите реални броеви на машина со конечна меморија (што е случај со сите дигитални компјутери). === Грешки од отсекување и дискретизација=== Грешките од отсекување се појавуваат тогаш кога еден итеративен метод ќе заврши или математичката постапка се апроксимира, и приближното решение се разликува од точното решение. Слично на тоа дискретизацијата вклучува дискретизациона грешка затоа што решението на дискретен проблем не се совпаѓа со решението на континуиран проблем. На пример, во итерацијата прикажана на горниот пример за да се пресмета решението на равенката 3х3+4=28, после 10 или повеќе итерации се заклучува дека се добива грубо решение на пример (1.99) . Со тоа имаме грешка од отсекување која изнесува 0.01. Откако една грешка се генерира таа се зголемува низ целата пресметка. Повторно за пример да ја истакнеме операцијата собирање (,,+,, на калкулатор или компјутер) за која веќе имаме спомнато дека не е прецизна, од тука следува дека и пресметката од видот a+b+c+d+e е уште понепрецизна. Горе е спомнато дека доаѓа до грешка од скратување кога апроксимираме математичка постапка. Познато е дека за прецизна интеграција на функција неопходно е да се најде збирот на бесконечен број трапезоиди. Но, во пракса меѓутоа можно е да се најде сумата (збирот) само на конечен број на трапезоиди, а со тоа да се приближиме кон точната вредност на интегралот. Слично на тоа, за да се најде извод на функцијата, диференцијалниот елемент се приближува кон нула, но бројчено може да се избере само ограничена вредност на диференцијалниот елемент. === Бројчена стабилност и добро условени проблеми=== Бројчената стабилност е важен поим во бројчената анализа. Еден алгоритам се нарекува бројчено стабилен ако една грешка, без разлика како е предизвикана, не расте многу во текот на пресметувањето. Ова се случува кога проблемот е добро условен што значи дека решението се менува со мала промена на влезните податоци. Во спротивно, ако проблемот е лошо условен тогаш секоја мала грешка во влезните податоците ќе предизвикува поголема грешка во решението. Заедно и оригиналниот проблем и алгоритмот се користат да се реши проблем кој може да биде добро условен и/или лошо условен и секоја од овие комбинации може да биде возможна.