Во физиката, фонон е колективно возбудување во периодичното, еластично распоредување на атомите или молекулите во кондензирана материја, како цврсти тела и некои течности. Често означен како квазичестичка, тој ја претставува возбудената состојба во квантнатата механичка квантизација на модусите на вибрациите на еластичните структури на интерактивните честички.
Фононите играат голема улога во многу физички својства на кондензирана материја, како што се топлинската и електричната спроводливост. Проучувањето на фононите е важен дел од физиката на кондензирана материја.
Концептот на фонони бил воведен во 1932 година од советскиот физичар Игор Там. Името фонон доаѓа од грчкиот збор φωνή (phonē), што се преведува во звук или глас, бидејќи фононите со долги бранови должини создаваат зголемување на звукот. Името се заснова на зборот фотон.
Дефиниција Фонон е квантен механички опис на елементарното вибрирачко движење, во кое решетката од атоми или молекули подеднакво осцилира на една честота. Во класичната механика ова означува нормален модус на вибрации. Нормалните модуси се важни, бидејќи секоја произволна вибрација на решетката може да се смета како суперпозиција од овие елементарни вибрирачки модуси (погл. Фурјеова анализа). Додека нормалните модуси се феномени слични на бранови во класичната механика, фононите имаат исто така својства слични на честичките, на начин поврзан со двојноста на брановидни честички во квантната механика.
Динамика на решетката Равенките во овој дел не користат аксиоми од квантната механика, туку наместо тоа користат односи за кои таму постои директна кореспонденција во класичната механика.
На пример: крута редовна, кристална (не аморфна) решетка е составена од N честички. Овие честички можат да бидат атоми или молекули. N е голем број, да речеме од редот на 1023, или од редот на Авогадровиот број за типичен примерок од цврсто тело. Бидејќи решетката е крута, атомите мора да создаваат сили една врз друга, за да го задржат секој атом блиску до рамнотежната состојба. Овие сили може да бидат Ван дер Валсови сили, ковалентни врски, електростатички привлекувања како и други, коишто во крајна линија се должат на електричната сила. Магнетните и гравитациските сили генерално се занемарливи. Силите помеѓу секој пар на атоми, можат да се одликуваат со потенцијалната енергетска функција V, која зависи од растојанието на одделувањето на атомите. Потенцијалната енергија на целата решетка е збир на сите парни потенцијални енергии помножени со факторот ½, за да се компензира за двојно броење:
каде што ri е позицијата на i атомот, а V е потенцијалната енергија помеѓу двата атома.
Тешко е да се реши експлицитно овој проблем со многу тела, и во класичната и во квантната механика. Со цел да се поедностави задачата, обично се наметнуваат две важни апроксимации. Прво, сумата се изведува само преку соседните атоми. Иако електричните сили во реалните цврсти тела се протегаат до бесконечност, оваа апроксимација е сè уште валидна, бидејќи полињата создадени од оддалечените атоми се ефикасно прикажани. Второ, потенцијалите V се третираат како хармониски потенцијали. Ова е дозволено сè додека атомите остануваат блиску до нивните рамнотежни состојби. Формално, ова го остварил Тејлор, проширувајќи ги V околу неговата рамнотежна вредност во квадратен ред, давајќи му на V пропорционално поместување x2 и еластична сила едноставно пропорционална на x. Грешката во игнорирањето на повисоките редови останува мала ако x остане близу до рамнотежата состојба.
Резултирачката решетка може да се визуелизира како систем од топки поврзани со пружини. Следната слика покажува кубична решетка, која е добар модел за многу видови на кристални цврсти тела. Другите решетки вклучуваат линеарни синџири, која е многу едноставна решетка која за кратко време ќе ја користиме за моделирање на фононите. (За другите општи решетки, видете во кристална структура.)
Податотека:Cubic.svg
Потенцијалната енергија на решетката сега може да биде напишана како:
Тука, ω е природната честота на хармониските потенцијали, за кои се претпоставува дека ќе бидат исти, бидејќи решетката е редовна. Ri е координатната позиција на i атомот, која сега ја мериме од неговата рамнотежна состојба. Сумата над најблиските соседи е означена со (nn).
Бранови на решетките десно|мини|200x200пкс|Фонон кој се шири низ квадратна решетка (поместувањата на атомите во голема мера се претерани) Поради врските помеѓу атомите, поместувањето на еден или повеќе атоми од нивните рамнотежни состојби, доведува до сет од вибрациски бранови, кои се шират низ решетката. Еден таков бран е прикажан на сликата десно. Амплитудата на бранот е дадена со поместувањата на атомите од нивните рамнотежни состојби. Брановата должина λ е означена.
Постои минимална можна бранова должина, дадена со двојно раздвојување од рамнотежата помеѓу атомите. Секоја бранова должина пократка од оваа, може да биде вброена во бранова должина подолга од 2а, поради периодичноста на решетката. Ова може да се смета како една од последиците на теорема за земање примероци на Никвист-Шенон, точките на решетката се гледаат како "точки за земање примероци" на континуираниот бран.
Не секоја можна вибрација на решетката, има добро-дефинирана бранова должина и честота. Сепак, нормалните модуси поседуваат добро-дефинирани бранови должини и честоти.
Едно димензионална решетка мини|Анимација која ги покажува првите 6 нормални модуси на едно-димензионална решетка: линеарен синџир на честички. Најкратката бранова должина е на врвот, со постепено подолги бранови должини подолу. Во најниските линии може да се види движењето на брановите на десно.
Со цел да се поедностави анализата која е потребна за 3-димензионалната решетка на атоми, погодно е да се моделира 1-димензионална решетка или линеарен синџир. Овој модел е доволно комплексен за прикажување на истакнатите одлики на фононите.
Класичен третман Се претпоставува дека силите помеѓу атомите се линеарни и најблиску-соседни и тие се претставени со еластична пружина. Секој атом се претпоставува дека е точка честичка и јадрото и електроните се движат во чекор (адиабатско приближување):
n − 1 n n + 1 ← a →
···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···
→→→→→→
un − 1unun + 1
каде што го означува -тиот атом надвор од вкупниот број , a е растојанието помеѓу атомите кога синџирот е во рамнотежа, а поместувањето на -тиот атом од неговата рамнотежна положба.
Ако C е еластична константа на пружината, а маса на атомот, тогаш равенката на движењето на -тиот атом е:
Ова е сет од парови равенки. Бидејќи се очекува дека решенијата ќе бидат осцилаторни, новите координати се дефинирани со дискретната Фурјеова трансформација, со цел да ги раздвои нив.
Ставете
Тука, одговара и се пренесува на континуираната променлива од теоријата на скаларно поле. се познати како нормални координати, континуираните модуси на полето . Замената во равенката на движењето ги дава следните раздвоени равенки (ова бара значителна манипулација користејќи ја ортонормалноста и комплетноста на односите на дискретната Фурјеова трансформација,
Ова се равенките за хармониските осцилатори кои имаат решение
Секоја нормална координатна Qk претставува независен вибрационен модус на решетката со бранов број k, кој е познат како нормален модус.
Втората равенка, за , е позната како дисперзивна релација помеѓу аголната честота и брановиот број. Во континуитетниот лимит, → 0, → ∞, со фиксиран , → , скаларно поле и формула. Ова се сведува на слободната скаларна класична теорија на полето.
Квантен третман Еднодимензионалниот квантнен механички хармониски синџир се состои од N идентични атоми. Ова е наједноставниот квантен механички модел на решетка, која им овозможува на фононите да произлезат од неа. Формализмот за овој модел е лесно генерализиран на две и три димензии.
Во одредена спротивност на претходниот дел, позициите на масите не се означени со ui, туку, наместо тоа, со x1, x2…, што се мери од нивните рамномерни состојби (т.е. xi = 0, ако честичката i е во својата рамнотежна состојба.) Во две или повеќе димензии, xi се векторски количини. Хамилтонијанот за овој систем е
каде што m е масата на секој атом (претпоставувајќи дека е еднаква за сите), а xi и pi се операторите за позиција и момент соодветно, за i атомот и сумата е извршена над најблиските соседи (nn). Сепак, се очекува дека во решетката би можело исто така да се појават и бранови кои се однесуваат како честички. Вообичаено е да се справи со брановите во Фурјеовиот простор, кој ги користи нормалните модуси на брановиот вектор како променливи, наместо како координати на честичките. Бројот на нормални модуси е ист со бројот на честички. Сепак, Фурјеовиот простор е многу корисен со оглед на периодичноста на системот.
Може да се воведе сет од N "нормални координати" Qk, дефинирани како дискретни Фурјеови трансформации на xk и N "конјугирачки моменти" Πk дефинирани како Фурјеови трансформација на pk:
Количината kn излегува дека е бранов број на фононот, односно 2 поделена со брановата должина.
Овој избор ги задржува посакуваните комутациски релации, како во реалниот простор така и во просторот со векторски бранови.
Од општиот резултат
Терминот потенцијална енергија е
каде
Хамилтонијанот може да биде напишан во просторот со векторски бранови како
Спојките помеѓу променливите на позицијата биле трансформирани; ако Q и Π биле хермитијани (кои тие не се), трансформираниот Хамилтонијан би требало да опише N неспоени хармониски осцилатори.
Формата на квантизацијата зависи од изборот на граничните услови; за поедноставување, се наметнуваат периодични гранични услови, со дефинирање на (N + 1)тиот атом како еквивалент на првиот атом. Физички, ова одговара на приклучувањето на синџирот на неговите краеви. Резултирачката квантизација е
Горната граница на n доаѓа од минималната бранова должина, што е двојна вредност од растојанието на решетката a, како што беше продискутирано погоре.
Хармониските осцилаторни карактеристични вредности или нивоа на енергија за модусот ωk се
Нивоата се подеднакво распоредени на:
каде ħω е енергијата на нултата точка на квантниот хармониски осцилатор.
Точна количина на енергија ħω мора да се достави до решетката на хармонискиот осцилатор за да го потисне на следното ниво на енергија. Во споредба со фотонскиот случај, кога електромагнетното поле се квантифицира, квантумот на вибрациона енергија се нарекува фонон.
Сите квантни системи истовремено покажуваат својства како бранови или честички. Својствата како честички на фононот најдобро се разбираат со користење на методите за втора квантизација и техниките на операторот опишани подоцна.
Тридимензионална решетка Ова може да биде генерализирано за тридимензионална решетка. Брановиот број k се заменува со тро-димензионален бранов вектор k. Понатаму, секој k е сега поврзан со три нормални координати.
Новите индекси s = 1,2,3 ја означуваат поларизација на фононите. Во еднодимензионалниот модел, атомите биле ограничени да се движат по должината на линијата, па фононите соодветствувале со надолжните бранови. Во три димензии, вибрациите не се ограничени на правецот на размножување, и можат исто така да се појават и во нормалните рамнини, како попречните бранови. Ова доведува до пораст на дополнителните нормални координати, кои како форма на Хамилтонијан укажуваат, дека можеме да ги видиме како независни видови на фонони.
Дисперзиона релација мини|Криви на дисперзија во линеарен двоатомски синџир мини|250x250пкс|Оптички и акустични вибрации во линеарен двоатомски синџир. мини|250x250пкс|Дисперзивен однос ω = ω(k) за некои бранови кои одговараат на вибрациите на решетките во GaAs. За една-димензионална наизменична низа од два вида на јон или атом со маса m1, m2 повторувани периодично на растојание a, поврзани со пружини со константа на пружина K, два модуса на вибрации резултираат:
каде k е бранов фактор на вибрациите поврзани со неговата бранова должина со .