Categoria:Teoria da medida
Em matemática, especificamente em teoria da medida, o Teorema de Radon-Nikodym é um resultado que estabelece condições nas quais uma medida (ou medida com sinal) pode ser representada por uma função. Mais precisamente, seja uma medida com sinal e uma medida. Queremos saber se existe uma função tal que . Obviamente é necessário que sempre que . O Teorema de Radon-Nikodym é a afirmação de que tal condição é também suficiente caso seja -finita.
Se as condições do teorema são satisfeitas, as funções são denominadas derivadas de Radon-Nikodym, e podem ser denotadas por .
Definições Seja um conjunto, uma -álgebra sobre e uma medida. Dizemos que é finita caso não exista tal que , ou, equivalentemente, caso . Dizemos que é -finita caso existam tais que e para todo temos .
Seja outra medida. Dizemos que é absolutamente contínua com respeito a , e denotamos , caso implique , para todo .
Enunciado O Teorema de Radon-Nikodym consiste da seguinte afirmação: Se é -finita e então existe uma função mensurável que satisfaz, para todo ,
Além disso, uma outra função mensurável satisfaz a equação acima se, e somente se, quase-sempre.
O resultado deixa de ser verdade sem a hipótese de que é -finita. Para ver isso, suponha que é o conjunto dos números reais, , é a coleção dos conjuntos mensuráveis a Lebesgue, é a medida contagem e é a medida de Lebesgue. Para cada temos que , e . Portanto a função , para existir, precisaria satisfazer , ou seja, , para todo . Mas com isso teríamos
.
Extensão para medidas com sinal O teorema segue valendo caso seja uma medida com sinal. Isso porque, pelo Teorema de Decomposição de Jordan, existem duas medidas tais que . Além disso, se então e . Portanto pelo teorema existem funções tais que
,
e, como a integral de Lebesgue é linear, a função satisfaz
,
para todo .
Demonstração Suponha primeiro que é finita.
Seja . Para qualquer e todo temos
uma vez que . Precisamos mostrar que a fórmula vale também quando .
Considere os conjuntos , com , , tais que
particionam (ou seja, ) Se e então Se e então
A existência de tais conjuntos não é trivial. O que nos garante isso é o Teorema de Decomposição de Hahn. Ele afirma que toda medida com sinal pode ser particionada em dois conjuntos tais que , e todos os seus subconjuntos, são não-positivos, enquanto e seus subconjuntos são não-negativos. Basta, portanto, observar que é uma medida com sinal, para todo , uma vez que é finito.
Definimos então os seguintes conjuntos:
Como , denotaremos todos esses conjuntos por .
Para cada fixo esses conjuntos particionam . Seja a função indicadora de um dado conjunto . Definimos a função como
Note que quase sempre, portanto existe e, pelo Teorema da convergência monótona,
Para tal que temos
Consideramos portanto tais que . Para esses conjuntos podemos supor . Como para qualquer com temos
Portanto se temos
ou seja,
Portanto a fórmula é válida para esses conjuntos. Mas mesmo se temos que . Isto é, a fórmula vale para todo . Segue que
Isso conclui a prova para o caso em que é finita. Agora se é -finita existem tais que e para todo temos . Portanto
para todo . Isso conclui a prova.