Na matemática, um grupo abeliano, também chamado de grupo comutativo, é um grupo no qual o resultado da aplicação da operação de grupo a dois elementos do grupo não depende da ordem em que eles são escritos. Ou seja, a operação de grupo é comutativa. Com a adição como operação, os inteiros e os reais formam grupos abelianos, e o conceito de um grupo abeliano pode ser visto como uma generalização desses exemplos. Os grupos abelianos recebem esse nome em homenagem ao matemático norueguês Niels Henrik Abel..
O conceito de um grupo abeliano está na base de muitas estruturas algébricas fundamentais, tais como corpos, anéis, espaços vetoriais e álgebras. A teoria dos grupos abelianos é geralmente mais simples do que a de seus equivalentes não abelianos, e os grupos abelianos finitos são muito bem compreendidos e totalmente classificados.
Definição Um grupo abeliano é um conjunto , juntamente com uma operação ⋅ , que combina quaisquer dois elementos e de para formar outro elemento de , denotado por . O símbolo ⋅ é um marcador de posição geral para uma operação dada concretamente. Para se qualificar como um grupo abeliano, o conjunto e a operação, , devem satisfazer quatro requisitos conhecidos como os axiomas de grupo abeliano (alguns autores incluem nos axiomas certas propriedades que pertencem à definição de uma operação: a saber, que a operação está definida para qualquer par ordenado de elementos de A, que o resultado é bem definido e que o resultado pertence a A):
Associatividade Para todos os , e em , a equação é válida. Elemento neutro Existe um elemento em , tal que para todos os elementos em , a equação é válida. Elemento inverso Para cada em existe um elemento em tal que , onde é o elemento neutro. Comutatividade Para todos os , em , .
Um grupo no qual a operação de grupo não é comutativa é chamado de "grupo não abeliano" ou "grupo não comutativo".
Fatos Notação
Existem duas convenções principais de notação para grupos abelianos: aditiva e multiplicativa.
Convenção Operação Elemento neutro Potências Inverso Adição 0 Multiplicação ou 1
Geralmente, a notação multiplicativa é a notação usual para grupos, enquanto a notação aditiva é a notação usual para módulos e anéis. A notação aditiva também pode ser usada para enfatizar que um grupo particular é abeliano, sempre que grupos abelianos e não abelianos forem considerados, com algumas exceções notáveis sendo os quase-anéis (near-rings) e os grupos parcialmente ordenados, onde uma operação é escrita de forma aditiva mesmo quando não é abeliana.
Tabela de multiplicação Para verificar se um grupo finito é abeliano, uma tabela (matriz) — conhecida como tábua de Cayley — pode ser construída de maneira semelhante a uma tabela de multiplicação. Se o grupo for sob a operação , a entrada desta tabela contém o produto .
O grupo é abeliano se e somente se esta tabela for simétrica em relação à diagonal principal, o que significa que para todos os , a entrada da tabela é igual à entrada . De fato, esta igualdade expressa que
Exemplos O grupo constituído apenas pelo elemento neutro é abeliano. Para os inteiros e a operação de adição , denotada por , a operação + combina quaisquer dois inteiros para formar um terceiro inteiro, a adição é associativa, o zero é o elemento neutro aditivo, todo inteiro possui um inverso aditivo, , e a operação de adição é comutativa, uma vez que para quaisquer dois inteiros e . Todo grupo cíclico é abeliano, pois se , estão em , então . Assim, os inteiros, , formam um grupo abeliano sob a adição, assim como os inteiros módulo , . Todo anel é um grupo abeliano no que diz respeito à sua operação de adição. Em um anel comutativo, os elementos invertíveis, ou unidades, formam um grupo multiplicativo abeliano. Em particular, os números reais são um grupo abeliano sob a adição, e os números reais não nulos são um grupo abeliano sob a multiplicação. Todo subgrupo de um grupo abeliano é normal, de modo que cada subgrupo dá origem a um grupo quociente. Subgrupos, quocientes e somas diretas de grupos abelianos são novamente abelianos. Os grupos abelianos simples finitos são exatamente os grupos cíclicos de ordem prima.. Os conceitos de grupo abeliano e -módulo coincidem. Mais especificamente, todo -módulo é um grupo abeliano com sua operação de adição, e todo grupo abeliano é um módulo sobre o anel dos inteiros de forma única.
Em geral, as matrizes, mesmo as matrizes invertíveis, não formam um grupo abeliano sob a multiplicação porque a multiplicação de matrizes geralmente não é comutativa. No entanto, alguns grupos de matrizes são grupos abelianos sob a multiplicação de matrizes — um exemplo é o grupo das matrizes de rotação .
Notas históricas Camille Jordan nomeou os grupos abelianos em homenagem ao matemático norueguês Niels Henrik Abel, que havia descoberto que a comutatividade do grupo de um polinômio implica que as raízes do polinômio podem ser calculadas usando radicais.
Propriedades Se for um número natural e for um elemento de um grupo abeliano escrito aditivamente, então pode ser definido como ( parcelas) e . Desta forma, torna-se um módulo sobre o anel dos inteiros. De fato, os módulos sobre podem ser identificados com os grupos abelianos.
Os teoremas sobre grupos abelianos (ou seja, módulos sobre o domínio de ideais principais ) podem frequentemente ser generalizados para teoremas sobre módulos sobre um domínio de ideais principais arbitrário. Um exemplo típico é a classificação dos grupos abelianos finitamente gerados, que é uma especialização do teorema de estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais. No caso de grupos abelianos finitamente gerados, este teorema garante que um grupo abeliano se divide como uma soma direta de um grupo de torção e um grupo abeliano livre. O primeiro pode ser escrito como uma soma direta de finitamente muitos grupos da forma para primo, e o último é uma soma direta de finitamente muitas cópias de .
Se forem dois homomorfismos de grupos entre grupos abelianos, então sua soma , definida por , é novamente um homomorfismo. (Isso não é verdade se for um grupo não abeliano). O conjunto de todos os homomorfismos de grupo de para é, portanto, um grupo abeliano por si só.
De forma um tanto semelhante à dimensão dos espaços vetoriais, todo grupo abeliano possui um posto. Ele é definido como a cardinalidade máxima de um conjunto de elementos linearmente independentes (sobre os inteiros) do grupo. Grupos abelianos finitos e grupos de torção têm posto zero, e todo grupo abeliano de posto zero é um grupo de torção. Os inteiros e os números racionais têm posto um, assim como todo subgrupo aditivo não nulo dos racionais. Por outro lado, o grupo multiplicativo dos racionais não nulos tem um posto infinito, uma vez que é um grupo abeliano livre com o conjunto dos números primos como uma base (isto resulta do teorema fundamental da aritmética).
O centro de um grupo é o conjunto de elementos que comutam com todo elemento de . Um grupo é abeliano se e somente se for igual ao seu centro . O centro de um grupo é sempre um subgrupo abeliano característico de . Se o grupo quociente de um grupo pelo seu centro for cíclico, então é abeliano..
Grupos abelianos finitos Grupos cíclicos de inteiros módulo , , estiveram entre os primeiros exemplos de grupos. Verifica-se que um grupo abeliano finito arbitrário é isomorfo a uma soma direta de grupos cíclicos finitos de ordem de potência prima, e essas ordens são determinadas de forma única, formando um sistema completo de invariantes. O grupo de automorfismos de um grupo abeliano finito pode ser descrito diretamente em termos desses invariantes. A teoria foi desenvolvida pela primeira vez no artigo de 1879 de Georg Frobenius e Ludwig Stickelberger e, mais tarde, foi simplificada e generalizada para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais, formando um capítulo importante da álgebra linear.
Qualquer grupo de ordem prima é isomorfo a um grupo cíclico e, portanto, abeliano. Qualquer grupo cuja ordem é o quadrado de um número primo também é abeliano.. De fato, para todo número primo existem (a menos de isomorfismo) exatamente dois grupos de ordem , a saber, e .
Classificação O teorema fundamental dos grupos abelianos finitos afirma que todo grupo abeliano finito pode ser expresso como a soma direta de subgrupos cíclicos de ordem de potência prima; também é conhecido como o teorema da base para grupos abelianos finitos. Além disso, os grupos de automorfismos de grupos cíclicos são exemplos de grupos abelianos. Isso é generalizado pelo teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados, sendo os grupos finitos o caso especial quando G tem posto zero; isso, por sua vez, admite inúmeras generalizações adicionais.
A classificação foi provada por Leopold Kronecker em 1870, embora não tenha sido enunciada em termos modernos da teoria dos grupos até mais tarde, e foi precedida por uma classificação semelhante de formas quadráticas por Carl Friedrich Gauss em 1801; veja a história para mais detalhes.
O grupo cíclico de ordem é isomorfo à soma direta de e se e somente se e forem coprimos. Segue-se que qualquer grupo abeliano finito é isomorfo a uma soma direta da forma
de qualquer uma das seguintes maneiras canônicas: os números são potências de primos (não necessariamente distintos), ou divide , que divide , e assim por diante até .
Por exemplo, pode ser expresso como a soma direta de dois subgrupos cíclicos de ordem 3 e 5: . O mesmo pode ser dito para qualquer grupo abeliano de ordem 15, levando à notável conclusão de que todos os grupos abelianos de ordem 15 são isomorfos.
Como outro exemplo, todo grupo abeliano de ordem 8 é isomorfo a (os inteiros de 0 a 7 sob adição módulo 8), (os inteiros ímpares de 1 a 15 sob multiplicação módulo 16), ou .
Veja também a lista de grupos pequenos para grupos abelianos finitos de ordem 30 ou menos.
Automorfismos Pode-se aplicar o teorema fundamental para contar (e, às vezes, determinar) os automorfismos de um dado grupo abeliano finito . Para fazer isso, usa-se o fato de que se se divide como uma soma direta de subgrupos de ordem coprima, então
Dado isso, o teorema fundamental mostra que, para calcular o grupo de automorfismos de , é suficiente calcular os grupos de automorfismos dos -subgrupos de Sylow separadamente (ou seja, todas as somas diretas de subgrupos cíclicos, cada um com ordem igual a uma potência de ). Fixe um primo e suponha que os expoentes dos fatores cíclicos do -subgrupo de Sylow estejam dispostos em ordem crescente:
para algum . É necessário encontrar os automorfismos de
Um caso especial é quando , de modo que há apenas um fator cíclico de potência prima no -subgrupo de Sylow . Neste caso, a teoria dos automorfismos de um grupo cíclico finito pode ser usada. Outro caso especial é quando é arbitrário, mas para . Aqui, considera-se que é da forma
de modo que os elementos deste subgrupo podem ser vistos como compondo um espaço vetorial de dimensão sobre o corpo finito de elementos . Os automorfismos deste subgrupo são, portanto, dados pelas transformações lineares invertíveis, de modo que
onde é o grupo linear geral apropriado. É fácil mostrar que isso tem ordem
No caso mais geral, onde os e são arbitrários, o grupo de automorfismos é mais difícil de determinar. Sabe-se, no entanto, que se definirmos
e
então tem-se em particular , , e
Pode-se verificar que isso produz as ordens nos exemplos anteriores como casos especiais (veja Hillar & Rhea).
Grupos abelianos finitamente gerados
Um grupo abeliano A é finitamente gerado se contiver um conjunto finito de elementos (chamados de geradores) tal que todo elemento do grupo é uma combinação linear com coeficientes inteiros de elementos de G.
Seja L um grupo abeliano livre com base Existe um único homomorfismo de grupos tal que