thumb|upright=1.25|Osciladores harmônicos quânticos para uma única partícula sem spin. As oscilações não têm trajetória, mas são representadas cada uma como ondas; o eixo vertical mostra a parte real (azul) e a parte imaginária (vermelha) da função de onda. Os painéis (A-D) mostram quatro soluções diferentes de ondas estacionárias da equação de Schrödinger. Os painéis (E–F) mostram duas funções de onda diferentes que são soluções da equação de Schrödinger, mas não ondas estacionárias. Na física quântica, uma função de onda é uma descrição matemática do estado quântico de um sistema quântico isolado. Os símbolos mais comuns para uma função de onda são as letras gregas e (psi minúsculo e maiúsculo, respectivamente).
De acordo com o princípio da superposição da mecânica quântica, as funções de onda podem ser somadas e multiplicadas por números complexos para formar novas funções de onda e formar um espaço de Hilbert. O produto interno de duas funções de onda é uma medida da sobreposição entre os estados físicos correspondentes e é usado na interpretação probabilística fundamental da mecânica quântica, a regra de Born, relacionando probabilidades de transição a produtos internos. A equação de Schrödinger determina como as funções de onda evoluem ao longo do tempo, e uma função de onda se comporta qualitativamente como outras ondas, como ondas de água ou ondas em uma corda, porque a equação de Schrödinger é matematicamente um tipo de equação de onda. Isso explica o nome "função de onda" e dá origem à dualidade onda e partícula. Entretanto, se a função de onda na mecânica quântica descreve um tipo de fenômeno físico ainda está aberto a diferentes interpretações, diferenciando-a fundamentalmente das ondas mecânicas clássicas.Heisenberg, W. (1927/1985/2009). Heisenberg traduzido (em inglês) por , (a partir de ).
As funções de onda são de valor complexo. Por exemplo, uma função de onda pode atribuir um número complexo a cada ponto em uma região do espaço. A regra de BornBorn, M. (1954). fornece os meios para transformar essas amplitudes de probabilidade complexas em probabilidades reais. Em uma forma comum, ela diz que o módulo quadrado de uma função de onda que depende da posição é a densidade de probabilidade de medir uma partícula como estando em um determinado lugar. A integral do módulo quadrado de uma função de onda sobre todos os graus de liberdade do sistema deve ser igual a 1, uma condição chamada normalização. Como a função de onda é de valor complexo, apenas sua fase relativa e magnitude relativa podem ser medidas; seu valor não diz nada, isoladamente, sobre as magnitudes ou direções de observáveis mensuráveis. É preciso aplicar operadores quânticos, cujos autovalores correspondem a conjuntos de resultados possíveis de medições, à função de onda e calcular as distribuições estatísticas para quantidades mensuráveis.
Funções de onda podem ser funções de variáveis diferentes de posição, como momento. A informação representada por uma função de onda que é dependente de posição pode ser convertida em uma função de onda dependente de momento e vice-versa, por meio de uma transformada de Fourier. Algumas partículas, como elétrons e fótons, têm spin diferente de zero, e a função de onda para tais partículas inclui spin como um grau de liberdade intrínseco e discreto; outras variáveis discretas também podem ser incluídas, como isospin. Quando um sistema tem graus de liberdade internos, a função de onda em cada ponto nos graus de liberdade contínuos (por exemplo, um ponto no espaço) atribui um número complexo para cada valor possível dos graus de liberdade discretos (por exemplo, componente z do spin). Esses valores são frequentemente exibidos em uma matriz de coluna (por exemplo, um vetor de coluna para um elétron que não é relativístico com spin ).
Contexto histórico
Em 1900, Max Planck postulou a proporcionalidade entre a frequência de um fóton e sua energia , e em 1916 a relação correspondente entre o momento de um fóton e o comprimento de onda , , e uma versão quase idêntica traduzida em . onde é a constante de Planck. Em 1923, De Broglie foi o primeiro a sugerir que a relação , agora chamada de relação de De Broglie, vale para partículas massivas, a principal pista sendo a invariância de Lorentz, e isso pode ser visto como o ponto de partida para o desenvolvimento moderno da mecânica quântica. As equações representam a dualidade onda-partícula para partículas sem massa e massivas.
Nas décadas de 1920 e 1930, a mecânica quântica foi desenvolvida usando cálculo e álgebra linear. Aqueles que usaram as técnicas de cálculo incluíram Louis de Broglie, Erwin Schrödinger e outros, desenvolvendo a "mecânica ondulatória". Aqueles que aplicaram os métodos da álgebra linear incluíram Werner Heisenberg, Max Born e outros, desenvolvendo a "mecânica matricial". Schrödinger posteriormente mostrou que as duas abordagens eram equivalentes.
Em 1926, Schrödinger publicou a famosa equação de onda agora nomeada em sua homenagem, a equação de Schrödinger. Esta equação foi baseada na conservação de energia clássica usando operadores quânticos e as relações de de Broglie e as soluções da equação são as funções de onda para o sistema quântico. No entanto, ninguém tinha clareza sobre como interpretá-la. A princípio, Schrödinger e outros pensaram que as funções de onda representam partículas que estão espalhadas com a maioria das partículas onde a função de onda é grande. Isso foi mostrado como incompatível com o espalhamento elástico de um pacote de ondas (representando uma partícula) de um alvo; ele se espalha em todas as direções., traduzido em nas páginas 52–55. Embora uma partícula espalhada possa se espalhar em qualquer direção, ela não se quebra e decola em todas as direções. Em 1926, Born forneceu a perspectiva da amplitude de probabilidade., traduzido em . Também aqui . Isso relaciona os cálculos da mecânica quântica diretamente às observações experimentais probabilísticas. É aceito como parte da interpretação de Copenhague da mecânica quântica. Existem muitas outras interpretações da mecânica quântica. Em 1927, Hartree e Fock deram o primeiro passo na tentativa de resolver a função de onda de N corpos e desenvolveram o ciclo de autoconsistência: um algoritmo iterativo para aproximar a solução. Agora também é conhecido como método de Hartree e Fock. O determinante de Slater e o permanente (de uma matriz) fazia parte do método, fornecido por John C. Slater.
Schrödinger encontrou uma equação para a função de onda que satisfazia a conservação de energia relativística antes de publicar a que não é relativística, mas a descartou, pois previa probabilidades negativas e energias negativas. Em 1927, Klein, Gordon e Fock também a encontraram, mas incorporaram a interação eletromagnética e provaram que era invariante de Lorentz. De Broglie também chegou à mesma equação em 1928. Esta equação de onda relativística é agora mais comumente conhecida como equação de Klein e Gordon.
Em 1927, Pauli fenomenologicamente encontrou uma equação que não é relativística para descrever partículas de spin 1/2 em campos eletromagnéticos, agora chamada de equação de Pauli. Pauli descobriu que a função de onda não era descrita por uma única função complexa de espaço e tempo, mas precisava de dois números complexos, que correspondem respectivamente aos estados de spin +1/2 e −1/2 do férmion. Logo depois, em 1928, Dirac encontrou uma equação da primeira unificação bem-sucedida da relatividade especial e da mecânica quântica aplicada ao elétron, agora chamada de equação de Dirac. Nisto, a função de onda é um spinor representado por quatro componentes de valor complexo: dois para o elétron e dois para a antipartícula do elétron, o pósitron. No limite que não é relativístico, a função de onda de Dirac se assemelha à função de onda de Pauli para o elétron. Mais tarde, outras equações de onda relativísticas foram encontradas.
Funções de onda e equações de onda em teorias modernas Todas essas equações de onda são de importância duradoura. A equação de Schrödinger e a equação de Pauli são, em muitas circunstâncias, excelentes aproximações das variantes relativísticas. Elas são consideravelmente mais fáceis de resolver em problemas práticos do que as contrapartes relativísticas.
A equação de Klein e Gordon e a equação de Dirac, embora sejam relativísticas, não representam a reconciliação completa da mecânica quântica e da relatividade especial. O ramo da mecânica quântica onde essas equações são estudadas da mesma forma que a equação de Schrödinger, frequentemente chamada de mecânica quântica relativística, embora muito bem-sucedida, tem suas limitações (veja, por exemplo, deslocamento de Lamb) e problemas conceituais (veja, por exemplo, mar de Dirac).
A relatividade torna inevitável que o número de partículas em um sistema não seja constante. Para a reconciliação completa, a teoria quântica de campos é necessária. assume o ponto de vista de que a teoria quântica de campos aparece do jeito que aparece porque é a única maneira de reconciliar a mecânica quântica com a relatividade especial. Nessa teoria, as equações de onda e as funções de onda têm seu lugar, mas em uma aparência um pouco diferente. Os principais objetos de interesse não são as funções de onda, mas sim operadores, os chamados operadores de campo (ou apenas campos onde "operador" é entendido) no espaço de estados de Hilbert (a ser descrito na próxima seção). Acontece que as equações de onda relativísticas originais e suas soluções ainda são necessárias para construir o espaço de Hilbert. Além disso, os operadores de campos livres, ou seja, quando se supõe que as interações não existem, acabam por satisfazer (formalmente) a mesma equação que os campos (funções de onda) em muitos casos.
Assim, a equação de Klein–Gordon (spin ) e a equação de Dirac (spin ) nesta forma permanecem na teoria. Análogos de spin mais altos incluem a equação de Proca (spin ), a equação de Rarita e Schwinger (spin ) e, mais geralmente, as equações de Bargmann e Wigner. Para campos livres sem massa, dois exemplos são a equação de Maxwell de campo livre (spin ) e a equação de Einstein de campo livre (spin ) para os operadores de campo. Veja especialmente o capítulo 5, onde alguns desses resultados são derivados. Todos eles são essencialmente uma consequência direta do requisito da invariância de Lorentz. Suas soluções devem se transformar sob a transformação de Lorentz de uma forma prescrita, ou seja, sob uma representação do grupo de Lorentz particular e que, juntamente com poucas outras demandas razoáveis, por exemplo, a propriedade de decomposição de cluster, Capítulo 4. com implicações para causalidade é suficiente para consertar as equações.
Isso se aplica a equações de campo livre; interações não são incluídas. Se uma densidade Lagrangiana (incluindo interações) estiver disponível, então o formalismo Lagrangiano produzirá uma equação de movimento no nível clássico. Esta equação pode ser muito complexa e não passível de solução. Qualquer solução se referiria a um número fixo de partículas e não levaria em conta o termo "interação" como referido nessas teorias, que envolve a criação e aniquilação de partículas e não potenciais externos como na teoria quântica "primeiramente quantizada" comum.
Na teoria das cordas, a situação permanece análoga. Por exemplo, uma função de onda no espaço de momento tem o papel de coeficiente de expansão de Fourier em um estado geral de uma partícula (corda) com momento que não é nitidamente definido.
Definição (uma partícula sem spin em uma dimensão)
Por enquanto, considere o caso simples de uma partícula única que não é relativística, sem spin, em uma dimensão espacial. Casos mais gerais são discutidos abaixo.