miniatura|Spirala Lucas, realizată cu sferturi de arc, reprezintă o bună aproximare a spiralei de aur când termenii ei sunt mari A nu se confunda cu număr Pell–Lucas. În matematică, numerele Lucas sau seria Lucas reprezintă un șir de numere întregi numit după matematicianul Édouard Lucas (1842–91), care a studiat atât acest șir, cât și numerele Fibonacci strâns legate. Numerele Lucas și numerele Fibonacci formează instanțe complementare ale seriei Lucas.Marius Coman, Enciclopedia matematică a claselor de numere întregiFibonacci and Lucas numbers, Verner E. Hoggatt, Jr.; On the k-Lucas numbers, Sergio Falcon
Numerele Lucas sunt definite asemenea numerelor Fibonacci sau a numerelor Pell: fiecare termen al seriei Lucas fiind egal cu suma celor doi termeni anteriori; ceea ce diferă sunt termenii inițiali ai seriei: , unde și .
Astfel primele câteva numere ale seriei Lucas sunt: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ....
Uneori se consideră că primii doi termeni ai seriei sunt L0 = 2 și L1 = 1, ceea ce nu schimbă seria de la termenul 3 în sus.
Un număr Lucas care este și număr prim se numește prim Lucas. Primele 16 numere prime Lucas sunt: 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, 119218851371
Relația cu numerele Fibonacci
Datorită naturii similare, există mai multe identități între numerele Lucas și numerele Fibonacci . Printre acestea se numără următoarele:
, și pe măsură ce se apropie de +∞, raportul se apropie de
; în particular,
Formula lor închisă este dată ca:
unde este raportul de aur. Alternativ, pentru mărimea termenului este mai mică de 1/2, este cel mai apropiat număr întreg de sau, în mod echivalent, partea întreagă a lui , scrisă și ca .
Combinând cele de mai sus cu formula lui Binet,
se obține o formulă pentru :
Note
Vezi și Listă de numere
Categorie:Teoria numerelor Leyland Categorie:numere Fibonacci