Simetrie (geometrie)

thumb|Diferite tipuri de simetrii, de reflexie, rotație sau translație În geometrie, un obiect este simetric dacă există o operație sau transformare (cum ar fi o translație, scalare, rotație sau reflexie) care aplică figura/obiectul pe sine însuși (adică obiectul are o invarianță în urma transformării). Astfel, o simetrie poate fi concepută ca o imunitate la schimbare. De exemplu, un cerc rotit în jurul centrului său va avea aceeași formă și dimensiune ca și cercul original, întrucât toate punctele sale nu ar putea fi deosebite înainte și după transformare. Se spune astfel că un cerc este simetric față de rotație sau că are simetrie de rotație. Dacă izometria este o reflexie a unei figuri plane față de o dreaptă, atunci se spune că figura are simetrie de reflexie, sau simetrie față de o axă. Este posibil ca o figură/obiect să aibă mai multe astfel de simetrii.

Tipurile de simetrii care sunt posibile pentru un obiect geometric depind de setul de transformări geometrice disponibile și de ce proprietăți ale obiectului ar trebui să rămână neschimbate după o transformare. Deoarece compunerea a două transformări este, de asemenea, o transformare, iar fiecare transformare are, prin definiție, o transformare inversă care o anulează, mulțimea de transformări pentru care un obiect este simetric formează un grup matematic, grupul de simetrie al obiectului.

Simetriile euclidine în general Cel mai comun grup de transformări aplicate obiectelor este grupul euclidian al „izometriilor”, care sunt transformări de conservare a distanței în spațiu denumite în mod obișnuit bidimensionale sau tridimensionale (adică în geometria plană sau geometria în spațiu euclidiană). Aceste izometrii constau din reflexii, rotații, translații și compuneri ale acestor operații de bază. În cazul unei transformări izometrice se spune că un obiect geometric este simetric dacă după transformare el nu se distinge de cel dinaintea transformării. Un obiect geometric este de obicei simetric numai pentru un subset sau „subgrup” al tuturor izometriilor. Tipurile de subgrupuri de izometrii sunt descrise mai jos, urmate de alte tipuri de grupuri de transformare și de tipurile de invarianță a obiectelor care sunt posibile în geometrie.

Conform teoremei Cartan–Dieudonné, o transformare ortogonală în spațiul n-dimensional poate fi reprezentat prin compunerea a cel mult n reflexii. + Izometrii de bază în funcție de dimensiuni1D2D3D4DReflexiiPunctAfinăPunctAfinăPunctAfinăPunctAfină1ReflexieReflexieReflexieReflexie2 Translație Rotație Translație Rotație Translație Rotație Translație3 Translație–reflexieRotație–reflexieTranslație–reflexie Rotație–reflexie Translație–reflexie4 Rotație–translație Rotațiedublă Rotație–translație5 Rotație–translație–reflexie

Simetrie de reflexie

Simetria de reflexie sau simetria în oglindă este simetria dată de o reflexie.

Într-un spațiu unidimensional simetria poate fi față de un punct, într-unul bidimensional și față de o axă de simetrie (dreaptă), iar în tridimensional și față de un plan de simetrie. O figură pentru care fiecare punct are o aplicație biunivocă pe alta, echidistantă de ea și pe partea opusă a unui plan comun se numește imagine în oglindă.

Axa de simetrie a unei figuri bidimensionale este o dreaptă. Dacă este construită o perpendiculară pe axă, oricare două puncte situate pe perpendiculară la distanțe egale de axa de simetrie sunt simetrice („în oglindă”). Un alt mod de a imagina asta este că dacă forma ar fi pliată în două pe axă, cele două jumătăți ar fi identice. De exemplu, un pătrat are patru axe de simetrie, deoarece există patru moduri diferite de a-l plia suprapunându-i laturile. Un alt exemplu ar fi cel al unui cerc, care, din același motiv, are infinit de multe axe de simetrie, care trec prin centrul său.

Dacă litera T este reflectată față de o axă verticală, apare la fel. Aceasta se numește uneori simetrie verticală. Astfel, se poate descrie acest fenomen fără echivoc spunând că „T are o axă de simetrie verticală” sau că „T are simetrie stânga-dreapta”.

Triunghiurile cu simetrie de reflexie sunt isoscele, patrulaterele cu această simetrie sunt romboizi sau trapeze isoscele.

Pentru fiecare linie sau plan de reflexie, grupul de simetrie este izomorf cu Cs, unul dintre trei tipuri de ordinul doi (involuții), deci algebric izomorf cu C2. Domeniul fundamental este un semiplan sau un semispațiu.

Simetria față de un punct și alte izometrii involutive thumb|În 2 dimensiuni o simetrie față de un punct este o rotație de 180°

Simetria de reflexie poate fi generalizată la alte izometrii dintr-un spațiu m-dimensional, fiind involuții, cum ar fi

într-un sistem de coordonate carteziene. Acestea reflectă spațiul față de un subspațiu afin -dimensional. Dacă  = , atunci o asemenea transformare este cunoscută ca simetrie față de un punct sau inversiune față de un punct. Într-un plan ( = 2), o simetrie față de un punct este „o jumătate de rotație” (180°). Simetrie antipodală este o altă expresie pentru simetria față de un punct (sau față de origine).

O astfel de „reflexie” conservă orientarea dacă și numai dacă este un număr par. William H. Barker, Roger Howe Continuous Symmetry: From Euclid to Klein (Google eBook) American Mathematical Soc Aceasta implică faptul că pentru un spațiu tridimensional ( = 3), ca și pentru alte spații cu dimensiuni impare, o reflexie a punctului modifică orientarea spațiului, ca o simetrie în oglindă. Asta explică de ce în fizică, termenul P-simetrie (P înseamnă paritate) este folosit atât pentru reflexia punctelor, cât și pentru simetria în oglindă. Deoarece o reflexie punctuală în tridimensional schimbă un sistem de coordonate pe stânga într-un sistem de coordonate pe dreapta, simetria față de un punct se numește și simetrie stânga-dreapta.

Simetrie de rotație

Simetria de rotație este o simetrie față de unele, sau chiar toate rotațiile din spațiul euclidian m-dimensional. Rotațiile sunt izometrii directe, care sunt izometrii care păstrează orientarea. Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic (2005) Natural Biodynamics World Scientific Prin urmare, un grup de simetrie al simetriilor de rotație este un subgrup al grupului euclidian special SE(3) (sau E+(m) ).

Simetria față de toate rotațiile față de toate punctele implică simetria de translație față de toate translațiile (deoarece translațiile sunt compuneri de rotații față de puncte diferite), iar grupul de simetrie este întregul E+(m). Acest lucru nu se aplică obiectelor, deoarece presupune un spațiu omogen, dar se poate aplica legilor fizice.

Pentru simetria rotațiilor față de un punct se poate lua acel punct ca origine. Aceste rotații formează grupul ortogonal special SO(m), care poate fi reprezentat de grupul cu determinant 1. Pentru m = 3, acesta este grupul de rotație SO(3).

Spus puțin diferit, grupul de rotație al unui obiect este grupul de simetrie din cadrul E+(m), grupul mișcărilor rigide; adică intersecția grupului de simetrie completă și a grupului de mișcări rigide. Pentru obiectele chirale, este la fel ca grupul de simetrie completă.

Legile fizicii sunt invariante față de SO(3) dacă nu disting direcții diferite în spațiu. Datorită , simetria de rotație a unui sistem fizic este echivalentă cu conservarea momentului cinetic.

Simetrie de translație

Simetria de translație lasă un obiect invariant față de un grup discret sau continuu de translații . Stenger, Victor J. (2000) and Mahou Shiro (2007). Timeless Reality. Prometheus Books. Especially chapter 12. Nontechnical. Ilustrația din dreapta arată patru figuri congruente generate de translații. Dacă linia figurilor s-ar extinde până la infinit în ambele direcții, atunci ar avea o simetrie de translație discretă; orice translație care a aplicat o figură pe alta ar lăsa întreaga linie neschimbată.

Simetrie de reflexie translată

În bidimensional o simetrie de reflexie translată este o reflexie din plan față de o axă compusă cu o translație lungul axei. Are ca rezultat același obiect. . Compunerea a două reflexii translate are ca rezultat o simetrie de translație cu dublul vectorului de translație. Grupul de simetrie care cuprinde reflexiile și translațiile asociate este grupul de frize p11g și este izomorf cu grupul ciclic infinit Z.

Simetrie de rotație–reflexie

În tridimensional 3D, o rotație–reflexie, este o rotație în jurul unei axe compusă cu o reflexie față de un plan perpendicular pe acea axă. Robert O. Gould, Steffen Borchardt-Ott (2011)Crystallography: An Introduction Springer Science & Business Media Grupurile de simetrie asociate cu rotația–reflexia: Dacă rotația nu este un multiplu de 360°, grupul de simetrie nu este unul discret. Dacă rotația–reflexia are un număr de 2n rotații cu un unghi de 180°/n, grupul de simetrie este S2n de ordinul 2n (a nu se confunda cu grupurile de simetrie la care se folosesc aceleași notații; grupul abstract este C2n). Un caz particular este n = 1, o inversiune față de un punct, deoarece nu depinde de axă și plan, fiind caracterizat doar de punctul de inversiune. Grupul Cnh (unghi de 360°/n); pentru n impar, acesta este generat de o singură simetrie, iar grupul abstract este C_2n”, pentru n par. Aceasta nu este o simetrie de bază, ci o compunere.

Simetrie elicoidală thumb|Curba unei elice În geometria tridimensională și dimensiuni superioare, o axă elicoidală (sau translație rotativă) este o compunere dintre o rotație și o translație de-a lungul axei de rotație. Bottema, O, and B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (September 1990)

Simetria elicoidală este tipul de simetrie văzut în obiecte ca arcuri sau burghie. Conceptul de simetrie elicoidală poate fi văzut ca traiectoria în spațiul tridimensional a unui obiect rotit cu viteză unghiulară constantă, în timp ce este translat cu o viteză liniară constantă de-a lungul axei sale de rotație. În orice moment, aceste două mișcări se compun pentru a da un „unghi de înfășurare” care ajută la definirea proprietăților elicei trasate. George R. McGhee (2006) The Geometry of Evolution: Adaptive Landscapes and Theoretical Morphospaces Cambridge University Press p.64 Când obiectul în discuție se rotește rapid și se translează încet, unghiul de înfășurare va fi aproape de 0°. În schimb, dacă obiectul se rotește încet și se translează rapid, unghiul de înfășurare se va apropia de 90°.

thumb|Apeirogonul elicoidal din imagine, prezentat într-o proiecție în perspectivă are o simetrie elicoidală discretă (aici cu 3 poziții) thumb|Elice Boerdijk–Coxeter, formată din tetraedre regulate augmentate, este un exemplu de simetrie elicoidală neperiodică Se pot distinge trei clase principale de simetrie elicoidală, bazate pe unghiul de înfășurare și simetriile de translație de-a lungul axei: