În matematică un domeniu c.m.m.d.c. sau domeniu GCD (din – GCD = c.m.m.d.c.) este un domeniu de integritate cu proprietatea că oricare două elemente au un cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.). Adică există un ideal principal minim unic care conține idealul generat de cele două elemente date. Echivalent, oricare două elemente din au un cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.).
Un domeniu c.m.m.d.c. generalizează un inel factorial la o versiune nenoetheriană în următorul sens: un domeniu de integritate este un inel factorial dacă și numai dacă este un domeniu c.m.m.d.c. care satisface condiția lanțului ascendent pe idealele principale (și în special dacă este noetherian).
Proprietăți Orice element ireductibil al unui inel factorial este prim. Un inel factorial este un domeniu de integritate închis întreg, iar fiecare element nenul este principal. Cu alte cuvinte, fiecare domeniu GCD este un domeniu Schreier.
Pentru fiecare pereche de elemente ale unui inel factorial , un c.m.m.d.c. al și și un c.m.m.m.c. al și pot fi alese astfel încât , sau, altfel spus, dacă și sunt elemente nenule și este c.m.m.d.c. al lui și , atunci este c.m.m.m.c. al lui și și reciproc. Urmează că existența c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. transformă într-o , unde „~” indică relația de echivalență a elementelor asociate. Echivalența dintre existența c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. nu este un corolar al rezultatului similar pe , deoarece nu trebuie să fie o latice completă pentru un inel factorial .
Dacă este un inel factorial, inelul polinoamelor este, de asemenea, un inel factorial. Robert W. Gilmer, Commutative semigroup rings, University of Chicago Press, 1984, p. 172
este un inel factorial dacă și numai dacă intersecțiile finite ale idealelor sale principale sunt principale. În special, , unde este c.m.m.m.c pentru și .
Pentru un polinom în peste un inel factorial se poate defini conținutul său ca c.m.m.d.c. al tuturor coeficienților săi. Atunci valoarea unui produs de polinoame este produsul valorilor lor, așa cum este exprimat prin , care este valabilă peste inelele factoriale.
Exemple Un (adică un domeniu de integritate în care orice ideal finit generat este principal) este un inel factorial. Spre deosebire de un (unde orice ideal este principal), un domeniu Bézout nu trebuie să fie un inel factorial. Un domeniu de integritate este un c.m.m.d.c. dacă și numai dacă este un domeniu Bézout. . P. 84: "It is easy to see that an integral domain is a Prüfer GCD-domain if and only if it is a Bezout domain, and that a Prüfer domain need not be a GCD-domain.". Un inel monoid comutativ este un inel factorial dacă este un inel factorial și este un semiinel factorial fără anulator. Un semiinel factorial este un semigrup cu proprietatea suplimentară că pentru orice și din semigrupul , există un astfel încât . În special, dacă este un grup abelian, atunci este un inel factorial dacă este un inel factorial și este fără torsiune. Inelul nu este un inel factorial pentru orice număr liber de pătrate
Note
Categorie:Algebră comutativă Categorie:Teoria inelelor