În algebră formula lui Leibniz, numită în onoarea lui Gottfried Leibniz, exprimă determinantul unei matrice pătrate în funcție de permutări ale elementelor matricei. Dacă este o matrice unde este elementul din rândul și coloana a lui formula este:
unde este funcția semn a permutărilor în funcție care dă repspectiv pentru permutările pare, respectiv impare.
O altă notație comună utilizată în formulă este și folosind , formula devine:
expresie mai familiară printre fizicieni.
Evaluarea directă a formulei lui Leibniz din definiție necesită în general operații – adică un număr de operații asimptotic proporțional cu factorial – deoarece este numărul de permutări de ordin . Acest lucru este foarte dificil chiar și pentru relativ mici. Însă determinantul poate fi evaluat în operații printr-o , (de obicei prin eliminare gaussiană sau metode similare), caz în care și determinanții matricelor triunghiulare și sunt pur și simplu produsele elementelor lor diagonale. Însă în aplicațiile practice ale calculul explicit al determinantului este rareori necesar. Determinantul poate fi evaluat și în mai puțin de operații prin reducerea problemei la înmulțirea matricilor, dar majoritatea acestor algoritmi nu sunt practici.
Definiția formală și demonstrația Teoremă Există o singură funcție care este o aplicație multiliniară alternată pe coloane astfel încât
Demonstrație Unicitatea: Fie o astfel de funcție și fie o matrice Fie cea de a -a coloană a lui adică astfel încât
De asemenea, cu este notată cel de al -lea vector coloană al matricei unitate.
Se scrie fiecare n funcție de , adică
Deoarece este multiliniară, avem
Din alternanță rezultă că orice termen cu indici care se repetă este nul. Prin urmare, suma poate fi restricționată la tupluri cu indici diferiți, adică permutări:
Deoarece este alternantă, coloanele pot fi inversate până când devine matricea unitate. Funcția semn este definită pentru a număra numărul de inversări necesare și pentru a ține cont de schimbarea de semn rezultată. În final se obține:
deoarece trebuie să fie egală cu
Prin urmare, nicio funcție în afară de funcția definită de Formula lui Leibniz nu poate fi o funcție multiliniară alternată cu
Existența: Acum se demonstrează că , unde este funcția definită de formula lui Leibniz, are următoarele trei proprietăți.
Este multiliniară:
Este alternată:
Pentru orice fie tuplul egal cu cu indicii și permutați.
Astfel, dacă atunci
În final, :
Astfel, singurele funcții multiliniare alternate cu sunt restricționate la funcția definită de formula lui Leibniz, și are și aceste trei proprietăți. Prin urmare, determinantul poate fi definit ca singura funcție cu aceste trei proprietăți.
Note
Bibliografie
Vezi și Matrice Teorema lui Laplace (algebră) Regula lui Cramer
Categorie:Algebră liniară Categorie:Determinanți Categorie:Gottfried Leibniz Categorie:Articole care conțin demonstrații