Cifrele semnificative sunt cifrele care în notația pozițională a numerelor furnizează atât informația, cât și fiabilitatea informației la descrierea unei mărimi. Atunci când se prezintă rezultatul unei măsurări (cum ar fi lungimea, presiunea, volumul sau masa), dacă numărul de cifre furnizate depășește rezoluția instrumentului de măsură, doar cifrele justificate de rezoluție sunt fiabile, prin urmare considerate semnificative.
De exemplu, dacă o măsurătoare de lungime dă 114,8 milimetri (mm), folosind o riglă gradată, cu cel mai mic interval dintre diviziuni la 1 mm, primele trei cifre (1, 1 și 4, reprezentând 114 mm) sunt certe și constituie cifre semnificative. În plus, cifrele care sunt incerte, dar semnificative, sunt incluse și ele în cifrele semnificative. În acest exemplu, ultima cifră (8, contribuind cu 0,8 mm) este, de asemenea, considerată semnificativă, în ciuda incertitudinii sale. Prin urmare, această măsurătoare oferă patru cifre semnificative. Dacă rezultatul măsurat cu aceeași riglă ar fi prezentat drept 114,836 mm, este evident că ultimele două zecimale sunt fără valoare, ca urmare sunt considerate false.
Un alt exemplu: fie o măsurare a volumului de 2,98 litri (L) cu o incertitudine de ±0,05 L. Volumul real este între 2,93 L și 3,03 L. Chiar dacă anumite cifre nu sunt complet cunoscute, ele sunt totuși semnificative dacă au sens, deoarece indică volumul real într-un interval acceptabil de incertitudine. În acest caz, volumul real ar putea fi 2,94 L sau posibil 3,02 L, deci toate cele trei cifre sunt considerate semnificative. Prin urmare, acest exemplu oferă trei cifre semnificative.
Următoarele tipuri de cifre nu sunt considerate semnificative: Kendall-Hunt, Chemistry in the Community, Dubuque, IA, 1988 Zerouri inițiale. De exemplu, 0,013 kg are două cifre semnificative: 1 și 3, iar zeroul inițial este nesemnificativ, deoarece nu are impact asupra indicației masei; 0,013 kg este echivalent cu 13 g, ceea ce face ca zeroul să fie inutil. În mod similar, în cazul lui 0,056 m există două zerouri inițiale nesemnificative, deoarece 0,056 m este același lucru cu 56 mm, prin urmare zerourile inițiale nu contribuie la indicarea lungimii. Zerouri finale, când servesc doar la poziționare. La măsurarea a 1500 m, când rezoluția măsurătorii este de 100 m, zerourile finale sunt nesemnificative, deoarece reprezintă pur și simplu pozițiile zecilor și a unităților. În acest caz, 1500 m indică faptul că lungimea este de aproximativ 1500 m, nu o valoare exactă de 1500 m. Cifre false, care apar în urma calculelor, rezultând o precizie mai mare decât datele originale sau la o măsurătoare declarată cu o precizie mai mare decât rezoluția instrumentului.
Un zero după virgula zecimală (de exemplu 1,0) este semnificativ și trebuie procedat cu prudență atunci când se adaugă o astfel de zecimală. Astfel, în cazul lui 1,0 există două cifre semnificative, în timp ce doar 1 (fără zecimală) are o singură cifră semnificativă.
Printre cifrele semnificative ale unui număr, cea mai semnificativă cifră este prima din stânga, care corespunde celei mai mari valori a exponentului bazei, în timp ce cea mai puțin semnificativă cifră este ultima din dreapta, care corespunde celei mai mici valori a exponentului bazei. De exemplu, în numărul „123”, „1” este cea mai semnificativă cifră, reprezentând sutele (102), în timp ce „3” este cea mai puțin semnificativă cifră, reprezentând unitățile (100).
Pentru a evita transmiterea unui nivel de precizie înșelător, numerele sunt adesea rotunjite. De exemplu, prezentarea unei măsurători de 12345,25 g atunci când instrumentul de măsurare oferă o precizie doar la cel mai apropiat gram ar crea o precizie falsă. În acest caz, cifrele semnificative sunt primele cinci cifre (1, 2, 3, 4 și 5) de la cifra din stânga, iar numărul ar trebui rotunjit la aceste cifre semnificative, rezultând 12345 g ca valoare exactă. Eroarea de rotunjire (în acest exemplu 0,25 g) aproximează rezoluția sau precizia numerică. Numerele pot fi, de asemenea, rotunjite pentru simplitate, nu neapărat pentru a indica precizia măsurătorii, cum ar fi în emisiunile de știri din motive de rapiditate.
Aritmetica cifrelor semnificative cuprinde un set de reguli aproximative pentru păstrarea preciziei în calcule.
În continuare, exemplele din articol au baza 10.
Identificarea cifrelor semnificative Reguli de identificare a cifrelor semnificative dintr-un număr thumb|Exemple. Cifrele albastre sunt semnificative, cele negre nu. În figură punctul reprezintă separatorul zecimal. Identificarea cifrelor semnificative dintr-un număr necesită cunoașterea cifrelor care au sens, ceea ce necesită cunoașterea rezoluției cu care numărul este măsurat, obținut sau prelucrat. De exemplu, dacă cea mai mică masă măsurabilă este de 0,001 g, atunci într-o măsurătoare dată ca 0,00234 g, „4” nu este util și ar trebui eliminat, în timp ce „3” este util și ar trebui adesea reținut. Oferirea unei definiții precise pentru numărul de cifre semnificative corecte nu este o chestiune simplă: Cifrele diferite de zero în cadrul rezoluției date de măsurare sau raportare sunt semnificative. 91 are două cifre semnificative (9 și 1) dacă sunt rezultate dintr-o măsurare. 123,45 are cinci cifre semnificative (1, 2, 3, 4 și 5) dacă se încadrează în rezoluția măsurării. Dacă rezoluția este, să zicem, 0,1, atunci 5 arată că valoarea reală cu 4 cifre semnificative este la fel de probabil să fie 123,4 sau 123,5. Zerourile dintre două cifre semnificative diferite de zero sunt semnificative. 101,12003 este format din opt cifre semnificative dacă rezoluția este de 0.00001. 125.340006 are șapte cifre semnificative dacă rezoluția este de 0.0001: 1, 2, 5, 3, 4, 0 și 0. Zerourile din stânga primei cifre diferite de zero (zerourile din față) sunt nesemnificative. Dacă o măsurătoare de lungime dă , atunci = 52 m, deci doar 5 și 2 sunt semnificative; zerourile din față apar sau dispar, în funcție de unitatea utilizată, deci nu sunt necesare pentru a indica scara de măsurare. 0,00034 are 2 cifre semnificative (3 și 4) dacă rezoluția este 0,00001. Zerourile din dreapta ultimei cifre diferite de zero (zerourile finale) dintr-un număr cu virgulă sunt semnificative dacă se încadrează în rezoluția de măsurare sau raportare. 1,200 are patru cifre semnificative (1, 2, 0 și 0) dacă se încadrează în rezoluția de măsurare. 0,0980 are trei cifre semnificative (9, 8 și ultimul zero) dacă se încadrează în rezoluția de măsurare. 120,000 este format din șase cifre semnificative (1, 2 și cele patru zerouri ulterioare) dacă, ca și înainte, se încadrează în rezoluția de măsurare. Zerourile finale într-un număr întreg pot fi sau nu semnificative, în funcție de rezoluția măsurătorii sau a raportării. are 3, 4 sau 5 cifre semnificative, în funcție de modul în care sunt utilizate ultimele zerouri. De exemplu, dacă lungimea unui drum este declarată ca fiind 45600 m fără informații despre rezoluția raportării sau a măsurării, atunci nu este clar dacă lungimea drumului este măsurată cu precizie ca 45600 m sau dacă este o estimare aproximativă. Dacă este o estimare aproximativă, atunci doar primele trei cifre diferite de zero sunt semnificative, deoarece zerourile finale nu sunt nici fidele, nici necesare; poate fi exprimat ca sau ca în notația științifică și niciuna dintre expresii nu necesită zerouri finale. Un număr exact are un număr infinit de cifre semnificative. Dacă numărul de mere dintr-o pungă este 4 (număr exact), atunci acest număr este (cu infinite zerouri la dreapta virgulei zecimale). Prin urmare, 4 nu are impact asupra numărului de cifre sau cifre semnificative din rezultatul calculelor efectuate cu acesta. Constanta Planck este definită exact ca fiind . Cifrele cunoscute ale unei constante matematică sau fizice sunt semnificative. π este un număr real particular cu mai multe definiții echivalente. Toate cifrele din partea sa zecimală sunt semnificative. Deși multe proprietăți ale acestor cifre sunt cunoscute – de exemplu, ele nu se repetă, deoarece π este irațional – nu toate cifrele sunt cunoscute. În martie 2024, erau calculate peste 102 de mii de miliarde de cifre "y-cruncher validation file". O aproximare de 102 mii de miliarde are 102 mii de miliarde de cifre semnificative. În aplicațiile practice, se utilizează mult mai puține cifre. Aproximarea obișnuită 3,14 are trei cifre semnificative și 7 cifre binare corecte. Aproximarea 22/7 are aceleași trei cifre zecimale corecte, dar are 10 cifre binare corecte. Majoritatea calculatoarelor și programelor de calculator pot gestiona o aproximare de 16 cifre, suficientă pentru calcule de navigație interplanetară.
Moduri de a nota cifrele semnificative într-un număr întreg cu zerouri finale Semnificația zerourilor finale într-un număr care nu conține virgulă poate fi ambiguă. De exemplu, nu este întotdeauna clar dacă numărul 1300 este precis la cea mai apropiată unitate (se întâmplă să fie un multiplu exact al unei sute) sau dacă este afișat doar la cea mai apropiată sută din cauza rotunjirii sau a incertitudinii. Există multe convenții pentru a aborda această problemă. Însă acestea nu sunt utilizate universal și sunt înțelese doar dacă cititorul este familiarizat cu convenția: Peste ultima cifră semnificativă poate fi plasată o bară deasupra; zerourile care urmează după aceasta sunt nesemnificative. De exemplu, 130 are trei cifre semnificative (prin urmare indică faptul că numărul este precis la cel mai apropiat zece). Mai rar, ultima cifră semnificativă a unui număr poate fi subliniată. De exemplu, „1300” are două cifre semnificative. Un punct plasat după număr poate însemna că cifrele dinainte sunt semnificative. De exemplu „1300.” indică în acest caz că zerourile zecimale sunt semnificative.
Întrucât convențiile de mai sus nu sunt în uzul general, sunt disponibile următoarele opțiuni mai larg recunoscute pentru indicarea semnificației numărului cu zerouri finale: Se elimină zerourile ambigue sau nesemnificative prin schimbarea prefixului unității dintr-un număr cu o unitate de măsură. De exemplu, precizia de măsurare specificată ca fiind 1300 g este ambiguă, în timp ce dacă este exprimată ca 1,30 kg, nu este. Similar, 0,0123 L poate fi rescris ca 12,3 mL. Se elimină zerourile ambigue sau nesemnificative folosind notația științifică: De exemplu, 1300 cu trei cifre semnificative devine . Similar, 0,0123 poate fi rescris ca . Partea reprezentării care conține cifrele semnificative (1,30 sau 1,23) este cunoscută sub numele de „semnificand” sau „mantisă”. Cifrele din bază și exponent ( sau ) sunt considerate numere exacte, deci pentru aceste cifre, cifrele semnificative sunt irelevante. Se menționează explicit numărul de cifre semnificative: De exemplu, „, cu doar o cifră semnificativă” sau „, cu două cifre semnificative”. Se menționează explicit precizia așteptată cu un semn plus-minus, ca în . Acest lucru permite, de asemenea, specificarea unui interval de precizie între puterile lui zece.
Rotunjirea la cifrele semnificative Rotunjirea la cifrele semnificative este o tehnică de uz mai general decât rotunjirea la cifre, deoarece tratează uniform numerele din scări diferite. De exemplu, populația unui oraș ar putea fi cunoscută doar la cea mai apropiată mie și ar putea fi exprimată ca , în timp ce populația unei țări ar putea fi cunoscută doar la cel mai apropiat milion și ar putea fi exprimată ca . Prima ar putea fi greșită cu sute, iar cea de-a doua ar putea fi greșită cu sute de mii, dar ambele au două cifre semnificative (5 și 2). Aceasta reflectă faptul că semnificația erorii este aceeași în ambele cazuri, în raport cu mărimea cantității măsurate.
Pentru a rotunji un număr la cifre semnificative: Numerical Mathematics and Computing, by Cheney and Kincaid