În fizica materiei condensate, frustrarea geometrică (sau pe scurt frustrarea) este un fenomen în care combinația unor forțe interatomice incompatibile conduce la structuri complexe. Frustrarea poate implica existența unui număr mare de stări fundamentale distincte la zero absolut, iar ordonarea termică obișnuită poate fi suprimată la temperaturi mai ridicate. Exemple studiate intens includ materiale amorfe, sticle și magneți diluați.
Termenul frustrare, în contextul sistemelor magnetice, a fost introdus de în 1977.
Sisteme magnetice frustrate au fost studiate însă și anterior. Lucrări timpurii includ analiza modelului Ising pe o rețea triunghiulară cu spini ai vecinilor apropiați cuplați antiferomagnetic, realizată de și publicată în 1950.
Caracteristici similare apar în magneți cu interacțiuni concurente, în care coexistă cuplaje feromagnetice și antiferomagnetice între perechi de spini sau momente magnetice, tipul interacțiunii depinzând de distanța dintre spini. În astfel de situații pot apărea fenomene de , cum ar fi aranjamente de spini de tip . Aceste structuri au fost discutate inițial, în special, de A. Yoshimori, T. A. Kaplan, R. J. Elliott și alți cercetători, începând din 1959, pentru a explica rezultate experimentale privind metalele din pământuri rare.
Interesul pentru astfel de sisteme de spini cu interacțiuni frustrate sau concurente a crescut din nou aproximativ două decenii mai târziu, în anii 1970, în contextul studiului sticlelor de spin și al suprastructurilor magnetice modulate spațial. În sticlele de spin, frustrarea este amplificată de dezordinea stocastică a interacțiunilor, așa cum poate apărea experimental în aliaje magnetice nestoechiometrice.
Modele de spini analizate riguros care includ frustrarea sunt modelul Sherrington–Kirkpatrick, care descrie sticlele de spin, și modelul ANNNI, care descrie suprastructuri magnetice .
Recent, conceptul de frustrare a fost utilizat și în analiza rețelelor cerebrale pentru a identifica structura complexă a conexiunilor neurale și pentru a evidenția elementele ajustabile ale creierului.
Ordine magnetică
Frustrarea geometrică este o caracteristică importantă în magnetism, unde apare din aranjamentul relativ al spinilor. Un exemplu simplu bidimensional este prezentat în Figura 1. Trei ioni magnetici se află în vârfurile unui triunghi echilateral și interacționează antiferomagnetic; energia este minimă atunci când fiecare spin este orientat opus față de vecinii săi. După ce primii doi spini se aliniază antiparalel, al treilea devine frustrat, deoarece cele două orientări posibile ale sale (sus sau jos) au aceeași energie. Al treilea spin nu poate minimiza simultan interacțiunile cu ambii vecini. Deoarece acest efect apare pentru fiecare spin, starea fundamentală este de șase ori . Numai cele două stări în care toți spinii sunt orientați în sus sau în jos au energie mai mare.
În mod similar, în trei dimensiuni patru spini aranjați într-un tetraedru (Figura 2) pot experimenta frustrare geometrică. Dacă interacțiunea dintre spini este antiferomagnetică, nu este posibil ca toate interacțiunile dintre spini să fie antiparalele. Există șase interacțiuni între vecinii apropiați: patru sunt antiparalele și deci favorabile energetic, însă două (între 1 și 2 și între 3 și 4) sunt nefavorabile. Nu este posibil ca toate interacțiunile să fie favorabile simultan, astfel că sistemul devine frustrat.
Frustrarea geometrică poate apărea și atunci când spinii sunt aranjați într-o configurație necoliniară. Dacă considerăm un tetraedru cu câte un spin în fiecare vârf orientat de-a lungul axei ușoare (adică direct către sau dinspre centrul tetraedrului), atunci este posibilă o configurație în care suma spinilor este nulă (Figura 3). Aceasta este echivalentă cu o interacțiune antiferomagnetică între fiecare pereche de spini, astfel că în acest caz nu apare frustrarea geometrică. Dacă însă între vecini există o interacțiune feromagnetică, energia este minimă pentru spini paraleli, iar frustrarea reapare. Configurația optimă este ilustrată în Figura 4: doi spini sunt orientați spre centru, iar doi în sens opus. Momentul magnetic total este orientat în sus, maximizând interacțiunile feromagnetice în această direcție, însă componentele stânga-dreapta și înainte-înapoi se anulează reciproc. Există trei aranjamente echivalente cu doi spini „înăuntru” și doi „în afară”, astfel încât starea fundamentală este de trei ori degenerată.
Definiție matematică
Definiția matematică este relativ simplă (și analogă cu așa-numitei din cromodinamică cuantică). Se consideră, de exemplu, expresii („energii totale” sau Hamiltonian) de forma
unde G este graful considerat, iar mărimile sunt așa-numitele energii de schimb între vecinii apropiați, care (în unitățile energetice considerate) pot lua valorile ±1; din punct de vedere matematic, aceasta corespunde unui . Termenii reprezintă produse scalare ale spinilor (sau pseudo-spinilor), scalari ori vectoriali.
Dacă graful G conține fețe pătrate sau triunghiulare P, apar așa-numitele variabile de tip „plaquette”, PW, produse pe bucle de forma
sau
Acestea sunt denumite și „produse de frustrare”. Se efectuează suma acestor produse pentru toate plaquette-urile. Rezultatul pentru o singură plaquette este fie +1, fie −1; în ultimul caz plaquette-ul este „geometric frustrat”.
Se poate demonstra că rezultatul prezintă o simplă invarianță gauge: el nu se modifică – nici alte mărimi observabile, precum energia totală – chiar dacă integralele de schimb și spinurile sunt modificate local astfel:
unde εi și εk sunt semne arbitrare (+1 sau −1), astfel încât structura modificată poate părea complet aleatorii.
Gheață (apă)
Deși majoritatea cercetărilor asupra frustrării se concentrează pe sisteme de spini, fenomenul a fost studiat pentru prima dată în gheață. În 1936, William F. Giauque și Stout au publicat lucrarea The Entropy of Water and the Third Law of Thermodynamics. Heat Capacity of Ice from 15 K to 273 K, raportând măsurători calorimetrice ale apei prin transformările de solidificare și vaporizare până la faza gazoasă la temperaturi ridicate.
Entropia a fost calculată prin integrarea capacității termice și adăugarea contribuțiilor de căldură latentă. Măsurătorile la temperaturi joase au fost extrapolate către zero folosind formula lui Peter Debye.
Rezultatul experimental al entropiei a fost comparat cu valoarea teoretică pentru un gaz ideal obținută din mecanică statistică. Diferența dintre cele două valori, denumită entropie reziduală S0, este aproximativ 3,4 J/(mol·K). Această discrepanță a fost explicată de Linus Pauling, care a arătat că gheața posedă o entropie finită chiar la zero absolut datorită dezordinii configuraționale a protonilor.
În faza hexagonală sau cubică a gheții, ionii de oxigen formează o structură tetraedrică. Fiecare ion de oxigen este înconjurat de patru ioni de hidrogen, iar fiecare proton este asociat cu doi atomi de oxigen. Din cauza structurii moleculei H2O, poziția de energie minimă a protonului nu este la mijlocul legăturii O–O. Există două poziții echivalente pe această legătură: una apropiată și una îndepărtată.
Aceasta conduce la așa-numitele „”: pentru fiecare atom de oxigen, doi protoni trebuie să fie în poziția apropiată și doi în poziția îndepărtată. Structura tetraedrică deschisă a gheții permite existența unui număr mare de configurații echivalente care satisfac aceste reguli.
Pauling a estimat entropia configurațională a gheții considerând un mol de gheață cu N ioni O2− și 2N protoni. Calculul său conduce la o entropie
care este în acord remarcabil cu entropia reziduală observată experimental.
Gheață de spin
O situație matematic analogă degenerescenței din gheața obișnuită apare în sistemele numite ghețuri de spin. O structură tipică de gheață de spin este ilustrată în Figura 6 pentru structura piroclorică cubică, în care câte un atom sau ion magnetic se află în fiecare dintre cele patru colțuri ale unui tetraedru.
Datorită puternic din material, fiecare ion magnetic poate fi descris printr-un dublet de stare fundamentală de tip Ising cu moment magnetic mare. Aceasta sugerează o imagine în care spinii de tip Ising se află pe o rețea de tetraedre care împart colțuri, cu spinii fixați de-a lungul axelor locale de cuantizare, anume axele cubice , care coincid cu direcțiile ce leagă fiecare vârf al tetraedrului de centrul acestuia.
Pentru a minimiza energia, fiecare tetraedru trebuie să aibă doi spini orientați spre interior și doi orientați spre exterior. În prezent, modelul de gheață de spin a fost realizat aproximativ în materiale reale, în special în piroclori de pământuri rare precum , și Ho2Sn2O7. Toate aceste materiale prezintă o nenulă la temperaturi joase.
Extinderea modelului lui Pauling: frustrarea generală
Modelul de gheață de spin reprezintă doar o subclasă a sistemelor frustrate. Termenul „frustrare” a fost introdus inițial pentru a descrie incapacitatea unui sistem de a minimiza simultan energiile interacțiunilor concurente dintre componentele sale.
În general, frustrarea este provocată fie de interacțiuni concurente cauzate de dezordinea pozițională (vezi și modelul Villain), fie de structura rețelei cristaline, cum ar fi în rețelele triunghiulare, cubice cu fețe centrate (fcc), hexagonale compacte (hcp), în structuri tetraedrice, piroclorurate sau kagome cu interacțiuni antiferomagnetice.
Astfel, frustrarea este de obicei împărțită în două categorii: frustrarea din sticlele de spin, unde există atât dezordine structurală, cât și frustrare a spinilor; frustrarea geometrică, în care rețeaua este ordonată, dar orientarea spinilor nu poate satisface simultan toate interacțiunile.
Frustrarea într-o sticlă de spin este înțeleasă în cadrul modelului , în care tipul interacțiunii (feromagnetică sau antiferomagnetică) depinde de distanța dintre ionii magnetici. Din cauza dezordinii rețelei, distanțele dintre un spin și vecinii săi pot varia, ceea ce duce la interacțiuni diferite și la orientări preferate diferite ale spinului.
Feromagneți frustrați geometric artificiali
Cu ajutorul tehnicilor de litografie este posibilă fabricarea unor insule magnetice submicrometrice a căror aranjare geometrică reproduce frustrarea întâlnită în materialele naturale de tip gheață de spin.
Recent, R. F. Wang și colaboratorii au raportat descoperirea unui magnet frustrat geometric artificial alcătuit din rețele de insule feromagnetice monodomeniu fabricate litografic. Aceste insule sunt aranjate manual pentru a crea un analog bidimensional al gheții de spin.
Momentele magnetice ale acestor insule au fost imaginate folosind (MFM), iar modul local de acomodare a frustrării a fost studiat în detaliu. În lucrări anterioare asupra unei rețele pătrate de magneți frustrați s-au observat corelații pe rază scurtă de tip „gheață” și absența ordinii pe rază lungă, exact ca în gheața de spin la temperaturi joase.
Aceste rezultate oferă un cadru experimental în care fizica frustrării poate fi vizualizată și modelată direct, stimulând cercetări suplimentare.
Astfel de feromagneți artificiali pot prezenta proprietăți magnetice neobișnuite atunci când răspunsul global la un câmp magnetic extern este studiat prin .
În special, dependența nemonotonă de unghi a coercitivității într-o rețea pătrată a fost asociată cu dezordinea prezentă în sistemele de gheață de spin artificială.
Frustrare geometrică fără rețea
Un alt tip de frustrare geometrică apare atunci când ordinea locală nu poate fi propagată pe scară mare. Una dintre problemele fundamentale ale fizicii materiei condensate este explicarea stabilității solidelor.
Uneori pot fi stabilite reguli locale, de natură chimică, care conduc la configurații de energie minimă și determină ordinea structurală. Totuși, nu întotdeauna această ordine locală se poate extinde fără conflicte în întregul spațiu, ceea ce conduce la frustrare geometrică.