În fizica statistică a sistemelor dezordonate, modelul energiei aleatorii (random energy model, REM) este un al unui sistem cu dezordine înghețată (quenched disorder), cum ar fi o sticlă de spin, care prezintă o transformare de fază de ordinul întâi.Michel Talagrand, Spin Glasses: A Challenge for Mathematicians (2003) Springer
Modelul analizează statistica unui sistem alcătuit din spini (adică grade de libertate care pot lua una dintre două valori posibile ). Numărul total de stări posibile ale sistemului este astfel .
Energiile acestor stări sunt variabile aleatorii de tip gaussian , cu medie zero și varianță .
Multe proprietăți ale acestui model pot fi calculate exact. Simplitatea sa îl face potrivit pentru introducerea pedagogică a unor concepte precum dezordine înghețată și simetria replicilor.
Mărimi termodinamice
Energia critică pe particulă:
Temperatura inversă critică:
Funcția de partiție:
Pentru mare și , aceasta devine
deoarece nu apare fenomenul de condensare. În acest caz se spune că sistemul prezintă proprietatea de automediere (self-averaging).
Entropia liberă pe particulă este
Entropia pe particulă este
Condensare
Pentru , a sistemului este concentrată în jurul energiei pe particulă
existând aproximativ
stări corespunzătoare.
Pentru , distribuția Boltzmann devine concentrată în jurul valorii
iar deoarece entropia pe particulă este zero în acel punct, distribuția se concentrează pe un număr sub-exponențial de stări. Această transformare de fază este numită condensare.
Participare
Se definește raportul de participare (participation ratio):
Raportul de participare măsoară gradul de condensare al distribuției Boltzmann. El poate fi interpretat ca probabilitatea ca două stări extrase aleatoriu din distribuție să fie identice. De fapt, acesta coincide cu indicele Simpson, un indice frecvent utilizat pentru măsurarea diversității.
Pentru fiecare pereche , raportul de participare este o variabilă aleatoriu determinată de nivelurile de energie.
Pentru , sistemul nu se află în faza condensată. Prin proprietatea de , distribuția Boltzmann devine asimptotic uniformă peste
stări.
Raportul de participare devine
care scade exponențial spre zero.
Pentru , raportul de participare satisface relația
unde valoarea așteptată este calculată peste toate nivelurile de energie aleatorii.
Comparație cu alte sisteme dezordonate
Modelul de sticlă de spin cu -spini de raza infinită, în care toate grupurile de spini interacționează cu o constantă de interacțiune aleatorie independentă și identic distribuită, devine modelul energiei aleatorii în limita
.
Mai precis, dacă Hamiltonianul modelului este definit prin
unde suma se efectuează peste toate cele submulțimi distincte de indici, iar pentru fiecare set variabila este gaussiană independentă cu medie zero și varianță
,
modelul energiei aleatorii este recuperat în limita .
Derivarea mărimilor termodinamice
După cum sugerează numele, în REM fiecare stare microscopică are o distribuție independentă a energiei. Pentru o realizare particulară a dezordinii,
unde reprezintă configurația spinilor, iar energia asociată.
Mărimile extensive finale, precum energia liberă, trebuie mediate peste toate realizările dezordinii, la fel ca în modelul Edwards–Anderson. Medierea lui peste toate realizările posibile conduce la distribuția
unde indică media peste toate realizările dezordinii.
Distribuția comună a energiilor pentru două configurații microscopice diferite, și , se factorizează:
Astfel, probabilitatea unei configurații depinde doar de energia stării respective, nu de configurația particulară a spinilor.
Entropia modelului REM este dată de
pentru .
Această expresie este valabilă numai dacă entropia pe spin rămâne finită, ceea ce corespunde temperaturilor
.
Pentru , sistemul rămâne „înghețat” într-un număr mic de configurații cu energie aproximativ
iar entropia pe spin tinde la zero în .
Note
Vezi și Modelul subcubului aleatoriu
Categorie:Mecanică statistică