miniatura|Vederi ale funcțiilor de undă care descriu poziția (x0) sau impulsul (k0) (a) unei unde pure, (b) unui pachet de undă și (c) unei particule perfect localizate. Deoarece unda are o frecvență pură, energia sa este perfect definită, dar nu este localizată în spațiu. Invers, particula este perfect localizată, dar nu are o frecvență determinată. Cazul general este cel al pachetului de undă, care este distribuit atât în frecvență, cât și în spațiu. Datorită echivalenței matematice dintre aceste două reprezentări, dispersia spațială este invers proporțională cu dispersia impulsului. În mecanica cuantică, chiar și rezultatul unei măsurători a unui sistem nu este determinist, ci este caracterizat printr-o distribuție de probabilitate, în care cu cât este mai mare deviația standard, cu atât mai multă „incertitudine” se va putea spune că respectiva caracteristică este pentru acel sistem. Principiul incertitudinii al lui Heisenberg dă o limită inferioară asupra produsului deviațiilor standard ale poziției și impulsului unui sistem, specificând că este imposibil să avem o particulă cu un impuls și o poziție arbitrar de bine definite simultan. Mai precis, produsul deviațiilor standard , unde este Constanta Planck redusă. Principiul este susceptibil de generalizare la multe alte perechi de mărimi, afară de poziție și impuls (de exemplu, impulsul unghiular pe două axe de coordonate diferite), și poate fi derivat euristic.
De observat că incertitudinile în chestiune sunt caracteristice ale mărimilor mecanice. În orice măsurare din lumea reală, vor fi incertitudini adiționale create de procesul de măsurare care nu este nici perfect, nici ideal. Principiul incertitudinii este valabil chiar dacă măsurătorile sunt ideale (așa numite măsurători von Neumann) sau neideale (măsurători Landau). De observat că și produsul incertitudinilor, de ordinul 10−35 Joule-secundă, este atât de mic încât principiul incertitudinii are efect neglijabil la scară macroscopică, în ciuda importanței pe care o are la nivel atomic sau subatomic.
Principiul incertitudinii a fost un pas important în dezvoltarea mecanicii cuantice când a fost formulat de Werner Heisenberg în 1927. Este adesea confundat cu efectul de observator.
Dualitatea undă-particulă
thumb|215px|Werner Heisenberg în 1927 Un postulat fundamental al mecanicii cuantice, care se manifestă în principiul incertitudinii al lui Heisenberg, este acela că nici un fenomen fizic nu poate fi descris (cu precizie arbitrară) ca "particulă punctiformă clasică" sau ca undă ci mai degrabă realitatea este modelată folosind dualitatea undă-particulă.
Principiul incertitudinii al lui Heisenberg este o consecință a acestui fapt. Amplitudinea undei asociate cu o particulă corespunde poziției ei, iar lungimea de undă (mai exact, Transformata Fourier a acesteia) este invers proporțională cu impulsul. Pentru a localiza unda astfel încât ea să aibă un maxim îngust (adică o incertitudine a poziției mică), este necesar să fie incorporate unde cu lungime foarte mică, corespunzătoare unor impulsuri mari după toate direcțiile, și astfel o incertitudine mare a impulsului. Într-adevăr, Principiul lui Heisenberg este echivalent cu o teoremă din analiza funcțională care spune că deviația standard a valorii absolute la pătrat a unei funcții, înmulțită cu deviația standard a valorii absolute a transformatei sale Fourier, este cel puțin 1/(16π2) (Folland și Sitaram, Teorema 1.1).
O analogie utilă poate fi făcută între unda asociată unei particule din mecanica cuantică și o undă mai bine cunoscută, semnalul variabil în timp asociat cu o undă sonoră. Nu are sens întrebarea privind spectrul de frecvență la un anumit moment din timp, deoarece măsurarea frecvenței este măsura unei repetiții într-o perioadă de timp. Într-adevăr, pentru ca un semnal să aibă o frecvență relativ bine definită, trebuie ca el să persiste o perioadă lungă de timp, și similar, un semnal care are loc la un moment de timp bine definit (adică e de scurtă durată) va conține obligatoriu o bandă de frecvențe largă. Adică, într-adevăr, este o analogie matematică apropiată de Principiul Incertitudinii al lui Heisenberg.
Principiul incertitudinii versus efectul de observator thumb|200px|left|Microscopul cu raze gamma al lui Heisenberg, pentru localizarea unui electron (arătat cu albastru). Raza gamma (arătată cu verde) este reflectată de electron sub unghiul de deschidere al microscopului θ. Raza reflectată este arătată cu roșu. Optica clasică arată că poziția electronului poate fi determinată doar cu o incertitudine Δx care depinde de θ și de lungimea de undă λ a luminii. Principiul incertitudinii din mecanica cuantică este uneori eronat explicat prin afirmația că măsurarea poziției obligatoriu modifică impulsul unei particule, și vice versa — adică se spune că principiul incertitudinii este o manifestare a efectului de observator. Într-adevăr, Heisenberg însuși inițial a dat explicații care au sugerat această vedere. Înaintea unor interpretări mai moderne, o măsurare era adesea vizualizată ca o denaturare fizică aplicată direct asupra sistemului măsurat, fiind uneori ilustrată sub forma unui experiment imaginar numit Microscopul lui Heisenberg. De exemplu, la măsurarea poziției unui electron, ne închipuim luminarea electronului, și astfel intervenirea asupra lui și producerea incertitudinilor cuantice asupra poziției sale.
Paradoxul EPR indică faptul că este greșit ca principiul incertitudinii să fie văzut ca o măsurare care afectează direct o particulă. Acest "paradox" arată că o măsurătoare poate fi efectuată asupra unei particule fără a o afecta direct, prin măsurarea unei particule asociate acesteia și aflate la distanță.
O altă problemă cu această vedere este aceea că induce o percepție greșită asupra măsurării din mecanica cuantică. Pentru a testa principiul incertitudinii, un fizician ipotetic ar folosi o anume procedură de mai multe ori pentru a pregăti un ansamblu de particule aflate în aceeași stare cuantică. Pentru jumătate din acest ansamblu, ar măsura poziția, dând o distribuție de probabilitate pentru poziție. Pentru cealaltă jumătate a ansamblului, ar măsura impulsul, dând o distribuție de probabilitate pentru impuls. În cele din urmă, s-ar calcula produsul deviațiilor standard ale celor două distribuții, rezultând o valoare de cel puțin .
În această situație, poziția și impulsul nu se vor putea niciodată măsura de mai multe ori pentru aceeași particulă. (Dacă s-ar putea, atunci rezultatul celei de-a doua măsurători nu vor reflecta starea originală, datorită aplicării corecte a efectului de observator.) De aceea, o măsurare nu o poate afecta pe cealaltă. Mai mult, deși fiecare măsurare prăbușește starea cuantică a particulei, distribuția de probabilitate rezultată din aceste măsurători va reflecta corect starea cuantică așa cum exista ea înaintea măsurătorii.
În orice caz, este acum înțeles că incertitudinile din cadrul unui sistem există înainte și independent de măsurătoare, iar principiul incertitudinii este astfel independent de efectul de observator.
Generalizarea, formularea exactă și relația Robertson-Schrödinger Măsurările poziției și impulsului efectuate pe copii identice ale unui sistem aflat într-o stare dată vor varia fiecare conform unei distribuții de probabilitate caracteristică stării sistemului. Aceasta este postulatul fundamental al mecanicii cuantice.
Dacă vom calcula deviațiile standard Δx și Δp ale măsurării poziției, respectiv impulsului, atunci
unde (h-bar) este Constanta Planck redusă (Constanta lui Planck împărțită la 2π).
Mai general, dat fiind orice operatori Hermitici A și B, și un sistem în starea ψ, există distribuții de probabilitate asociate cu măsurarea lui A și a lui B, dând deviațiile standard ΔψA and ΔψB. Atunci:
unde operatorul [A,B] = AB - BA reprezintă comutatorul lui A și B, iar reprezintă valoarea așteptată. Această inegalitate se numește relația Robertson-Schrödinger, și include Principiul Incertitudinii al lui Heisenberg drept caz particular. A fost arătată pentru prima oară în 1930 de Howard Percy Robertson și (independent) de Erwin Schrödinger.
Alte forme ale principiului incertitudinii Datorită relației Robertson-Schrödinger de mai sus, o relație de incertitudine apare între oricare două cantități observabile care pot fi definite prin operatori care nu comută. Următoarele sunt câteva exemple:
Există o relație de incertitudine între poziția și impulsul unui obiect:
între poziția unghiulară și momentul cinetic:
între două componente ortogonale ale operatorului moment cinetic total al unui obiect:
unde i, j, k sunt distincte și Ji reprezintă componenta momentului cinetic după axa xi.
între numărul de electroni dintr-un superconductor și faza parametrului de ordine Ginzburg-Landau:
Principiul incertitudinii energie-timp
Spre deosebire de exemplele de mai sus, unele principii de incertitudine nu sunt consecințe directe ale relației Robertson-Schrödinger. Cel mai cunoscut dintre acestea este principiul incertitudinii energie-timp.
Aplicând ideile relativității restrânse asupra principiuluii incertitudinii poziție-impuls, mulți fizicieni, cum ar fi Niels Bohr, au postulat că ar trebui să existe următoarea relație:
,
dar nu a fost imediat evident cum ar trebui definit Δt (deoarece timpul nu este tratat ca operator). În 1926, Dirac a oferit o definiție clară și o demonstrație a acestui principiu de incertitudine, ca rezultând dintr-o teorie cuantică relativistă a "evenimentelor". Dar cea mai bine cunoscută, mai des folosită și corectă formulare a fost dată abia în 1945 de către L. I. Mandelshtam și I. E. Tamm, după cum urmează. Pentru un sistem cuantic aflat într-o stare nestaționară și o observabilă reprezentată de un operator autoadjunct , este valabilă următoarea formulă:
,
unde este deviația standard a operatorului energie în starea , reprezintă deviația standard a operatorului și este valoarea așteptată a lui în acea stare. Deși al doilea factor din partea stângă are dimensiune de timp, el este diferit de parametrul timp din Ecuația Schrödinger. Este un timp de viață a stării față de observabila . Cu alte cuvinte, acesta este timpul după care valoarea așteptată se schimbă apreciabil.
Principiul incertitudinii energie-timp are implicații mari în spectroscopie. Deoarece stările excitate au un timp de viață finit, nu toate eliberează aceeași cantitate de energie când degenerează; vârfurile spectroscopice sunt de fapt maxime cu lărgime finită (numite lărgime naturală), cu centrul în dreptul energiei reale a stării excitate. Pentru stările care degenerează rapid, lărgimea face dificilă măsurarea precisă a acestei energii reale, și într-adevăr, cercetătorii au folosit cavități de microunde pentru a încetini rata de degenerare, pentru a obține maxime mai abrupte și măsurări mai precise ale energiei (Gabrielse and Dehmelt 1985).
O formulare falsă deosebit de răspândită a principiului incertitudinii energie-timp spune că energia unui sistem cuantic măsurată în intervalul de timp trebuie să fie imprecisă, cu imprecizia dată de inegalitatea . Această formulare a fost explicit infirmată de Y. Aharonov și D. Bohm în 1961. Într-adevăr, se poate determina energia exactă a unui sistem cuantic într-un interval de timp arbitrar de scurt. Mai mult, după cum arată unele cercetări recente, pentru sisteme cuantice cu spectre discrete de energie, produsul este limitat superior de un zgomot statistic care dispare dacă sunt folosite suficient de multe copii identice ale sistemului. Această limită superioară care dispare elimină în mod cert posibilitatea unei limite inferioare, contrazicând din nou această falsă formulare a principiului incertitudinii energie-timp.
Demonstrație Principiul incertitudinii are o demonstrație matematică simplă. Pasul cheie este aplicarea inegalității Cauchy-Schwarz, una din cele mai utile teoreme din algebra liniară.