Primitiva a unei funcții reale , pe un interval , este o funcție derivabilă a cărei derivată este în fiecare punct al intervalului. Determinarea primitivelor constituie una dintre problemele fundamentale ale calculului integral. Ea constă în determinarea unei funcții pornind de la derivata acesteia, atunci când o asemenea funcție există.
Integrala nedefinită a unei funcții desemnează familia primitivelor sale pe intervalul considerat. Dacă este o primitivă a lui , integrala nedefinită se notează , unde este o constantă aleatorie, numită constantă de integrare. Astfel, reprezintă o anumită primitivă a lui , iar descrie toate primitivele acesteia pe intervalul respectiv. În analiza matematică notația integralei nedefinite poate fi utilizată și pentru desemnarea unei primitive, sensul fiind stabilit din context.Georgescu, 2015, pp. 3–4, §1.1Durea, Lefter, 2020, § 5.1.5 Orice funcție continuă pe un interval admite primitive, deși continuitatea nu este o condiție necesară pentru existența acestora. O funcție poate admite primitive fără ca acestea să poată fi exprimate prin funcții elementare. Teorema fundamentală a calculului integral stabilește relația dintre primitive și integrala definită.
Definiție și notații
Fie un interval deschis nevid și . O funcție se numește primitivă a lui pe dacă este derivabilă și pentru orice . Noțiunea se extinde și la intervale care conțin unul sau ambele capete, cu precizarea sensului derivabilității în aceste puncte.La un capăt inclus al intervalului poate fi considerată derivata laterală dinspre interiorul acestuia. Pentru formula Leibniz-Newton este suficient ca primitiva să fie continuă pe intervalul închis și să aibă derivata egală cu funcția dată în interiorul intervalului. Existența și determinarea primitivelor se raportează la intervalul pe care este definită funcția.Holhoș, Curs 1, p. 3
De exemplu, este o primitivă a funcției pe . Funcțiile și sunt, de asemenea, primitive ale lui , toate aceste funcții având derivata .Georgescu, 2015, p. 1–2 Domeniul pe care este considerată funcția intervine în determinarea primitivelor. Pentru , funcția este definită pe , iar este o primitivă pe fiecare dintre intervalele și . Dăneț, curs, tabel integrale
În notația , simbolul reprezintă simbolul integralei, este integrandul, iar este variabila de integrare. Notația indică variabila în raport cu care se efectuează integrarea. În notația cu diferențiale, relația exprimă legătura dintre diferențiala unei funcții și derivata sa. La schimbarea de variabilă se utilizează relația , justificată prin regula de derivare a funcțiilor compuse.Georgescu, 2015, p. 3
Dacă este o primitivă a lui , familia tuturor primitivelor pe intervalul considerat este . În notația integralei nedefinite, expresia reprezintă această familie, unde este constanta de integrare. Determinarea primitivelor unei funcții se numește integrare nedefinită.
Familia primitivelor și constanta de integrare
Unicitatea până la o constantă
Dacă este o primitivă a lui pe un interval, atunci este, de asemenea, o primitivă pentru orice , deoarece . Dacă și sunt două primitive ale aceleiași funcții pe același interval, diferența este constantă. Toate primitivele lui sunt astfel de forma , cu . Faptul că două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă rezultă din teorema lui Lagrange. Dacă , atunci . Pentru din interval, teorema lui Lagrange asigură existența unui punct pentru care , deci . Cum această egalitate este valabilă pentru orice două puncte ale intervalului, este constantă. Rezultatul necesită derivabilitatea primitivelor, nu continuitatea derivatelor acestora.
Constanta de integrare reflectă faptul că funcțiile care diferă printr-o constantă au aceeași derivată. Graficele primitivelor diferă prin translații verticale, iar tangentele lor în puncte cu aceeași abscisă au aceeași pantă. O condiție de forma determină în mod unic o primitivă din această familie. Dacă este o primitivă cunoscută, funcția care satisface condiția este . De exemplu, dintre primitivele funcției , condiția determină funcția .
Primitive pe reuniuni de intervale
Pe un interval, două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă. Dacă domeniul funcției este format din mai multe intervale disjuncte, această proprietate se aplică separat pe fiecare dintre ele. Constantele asociate fiecărui interval pot fi alese independent. În general, reprezentarea printr-o singură constantă nu cuprinde toate primitivele definite pe reuniunea acestor intervale.Georgescu, 2015, pp. 4–5
Pentru pe , primitivele au forma
unde sunt constante independente. Pe fiecare dintre intervalele și , familia primitivelor poate fi scrisă sub forma . Pentru întregul domeniu , folosirea unei singure constante nu cuprinde toate primitivele posibile.
Liniaritatea și relația cu derivarea
Dacă și pe același interval, atunci este o primitivă a funcției pentru orice . Proprietatea de liniaritate se exprimă prin , unde . Constantele de integrare care apar la determinarea separată a primitivelor termenilor sunt cuprinse într-o singură constantă aleatorie pe intervalul considerat.Georgescu, 2015, pp. 7–8 Liniaritatea integralei nedefinite privește sumele de funcții și înmulțirea cu constante. În general, primitiva unui produs nu este produsul primitivelor, iar primitiva unui raport nu este raportul primitivelor. Pentru produse de funcții, regula de derivare a produsului duce la formula integrării prin părți.Georgescu, 2015, pp. 8–10, § 1.3.1
Integrarea nedefinită și derivarea sunt operații strâns legate. Dacă este derivabilă pe un interval și , atunci este o primitivă a lui . Totuși, derivata nu determină în mod unic funcția inițială, deoarece pentru orice constantă funcțiile și au aceeași derivată. Din acest motiv, toate primitivele lui sunt reprezentate prin . Dacă se cunoaște suplimentar valoarea unei primitive într-un punct , constanta de integrare este determinată. Pentru condiția , dintre toate primitivele funcției există cel mult una care satisface această condiție. Dacă este o primitivă cunoscută, aceasta are forma .
Existența primitivelor
Funcții continue
Orice funcție reală continuă pe un interval admite cel puțin o primitivă pe acel interval. Fie un interval, o funcție continuă și un punct fix. Se definește funcția
, pentru .
Variabila este variabila de integrare, iar este argumentul funcției . Dacă , integrala este definită prin convenția . Chiar dacă intervalul este nemărginit, integrala care definește se calculează numai pe segmentul mărginit dintre și . Continuitatea lui asigură integrabilitatea sa Riemann pe fiecare asemenea segment.Durea, Lefter, 2020, pp. 131–132
Funcția astfel definită satisface . Mai important, derivata sa este chiar funcția . Pentru un punct și un număr suficient de mic astfel încât , aditivitatea integralei conduce la
, și prin scăderea lui din raportul diferențial,
Valoarea absolută a expresiei din partea dreaptă este mărginită de cea mai mare variație a lui față de pe segmentul dintre și
Continuitatea lui în implică faptul că această margine tinde la când . Raportul diferențial al lui tinde astfel la , deci . Funcția este, prin definiție, o primitivă a lui pe .
Această construcție arată că existența unei primitive nu depinde de posibilitatea de a găsi o formulă elementară pentru ea. O funcție continuă poate avea o primitivă definită prin integrala chiar dacă aceasta nu poate fi exprimată printr-o combinație finită de funcții elementare. Alegerea punctului nu modifică familia primitivelor. Dacă , atunci ,
iar integrala este o constantă independentă de . Funcțiile obținute alegând puncte de pornire diferite diferă numai printr-o constantă. Dacă , toate primitivele lui pe intervalul au forma , cu .
Proprietatea lui Darboux și existența primitivelor
O funcție care admite o primitivă pe un interval trebuie să aibă proprietatea lui Darboux, adică să ia toate valorile intermediare dintre valorile sale în două puncte ale intervalului. Această condiție rezultă din teorema lui Darboux, potrivit căreia orice derivată are proprietatea valorilor intermediare, chiar dacă nu este continuă. Proprietatea lui Darboux este necesară, dar nu este suficientă pentru existența unei primitive.Durea, Lefter, 2020, p. 97, teorema 4.2.24, și p. 112.Georgescu, 2015, p. 2
Funcția semn nu admite o primitivă pe , deoarece nu are proprietatea lui Darboux. Ea primește doar valorile , și și nu ia, de exemplu, valoarea între un punct negativ și unul pozitiv. Restricțiile sale la și admit însă primitive, deoarece funcția este constantă pe fiecare dintre aceste intervale.
Continuitatea nu este necesară pentru existența unei primitive. Funcția pentru și este derivabilă pe . Derivata sa satisface , iar pentru este . Funcția nu este continuă și este nemărginită în orice vecinătate a originii, dar admite primitiva .
Existența unei primitive nu este echivalentă nici cu integrabilitatea Riemann. Funcția semn este integrabilă Riemann pe , dar nu admite o primitivă pe un interval care conține originea. Funcția din exemplul anterior admite o primitivă, dar nu este integrabilă Riemann pe , deoarece este nemărginită.Durea, Lefter, 2020, pp. 112–113
Legătura cu integrala definită
Primitiva, integrala nedefinită și integrala definită sunt noțiuni distincte. O primitivă a unei funcții este o funcție pentru care . Integrala nedefinită reprezintă familia primitivelor lui pe intervalul considerat și se notează . Integrala definită asociază funcției și intervalului de integrare o valoare numerică, atunci când funcția este integrabilă pe .
Definiția integralei Riemann nu presupune cunoașterea unei primitive. Ea se bazează pe limita unor sume asociate unor diviziuni ale intervalului. Legătura cu primitivele este dată de teorema fundamentală a calculului integral. Dacă este continuă pe , funcția este continuă pe , derivabilă în interiorul intervalului și satisface . Funcția este astfel o primitivă a lui .Durea, Lefter, 2020, p. 112 Dacă este orice primitivă a lui pe intervalul considerat, atunci și diferă printr-o constantă. Din această relație se obține formula Leibniz-Newton . Valoarea integralei definite nu depinde de primitiva aleasă, deoarece adăugarea unei constante la nu modifică diferența .
Formula Leibniz–Newton
Fie o funcție integrabilă Riemann și o funcție continuă pe și derivabilă pe , astfel încât pentru orice . Atunci este valabilă formula Leibniz–Newton
În această formă, continuitatea funcției pe întregul segment nu este necesară. Sunt necesare integrabilitatea sa Riemann și existența unei funcții care îndeplinește condițiile de mai sus. Cazul în care este continuă pe constituie o situație particulară importantă, deoarece existența unei primitive este atunci asigurată.Stănășilă, Octavian, Analiză matematică, ediția definitivă, Fundația Floarea Darurilor, București, 2014, ISBN 978-973-0-17788-6, p. 70
O demonstrație poate fi obținută prin aproximarea integralei cu sume Riemann. Pentru o diviziune , teorema lui Lagrange aplicată funcției pe fiecare segment asigură existența unui punct pentru care
Însumarea egalităților pentru produce anularea termenilor intermediari și dă
Expresia din partea dreaptă este o sumă Riemann asociată funcției . Deoarece este integrabilă Riemann, aceste sume tind la atunci când norma diviziunii tinde la zero. Se obține astfel egalitatea .
Alegerea primitivei nu modifică rezultatul. Dacă este o altă primitivă a lui , atunci , deoarece constanta se reduce în diferență. Formula Leibniz–Newton permite, în aceste condiții, determinarea integralei definite prin valorile oricărei primitive la capetele intervalului.
Integrala cu limita superioară variabilă
Fie o funcție integrabilă Riemann și fie un punct fix. Funcția
, este definită pentru și reprezintă integrala lui pe intervalul dintre și . Dacă pe , atunci pentru orice are loc . Funcția este continuă pe , chiar dacă nu este continuă.