În matematică, prin serie hipergeometrică fundamentală, câteodată numită și q-serie hipergeometrică, se înțelege generalizarea q-seriilor analoage a seriei hipergeometrice ordinare. În mod uzual sunt definite două serii fundamentale: seria hipergeometrică fundamentală unilaterală și seria hipergeometrică fundamentală bilaterală.
Numele i-a fost dat prin analogie cu seria hipergeometrică ordinară. O serie ordinară este numită o serie ordinară hipergeometrică în cazul în care raportul dintre termenii succesivi este o funcție rațională de n. Dar dacă raportul termenilor succesivi este o funcție rațională de , atunci seria se numește serie hipergeometrică fundamentală.
Serie hipergeometrică fundamentală a fost luată în considerație pentru prima dată de Eduard Heine în secolul XIX, ca un mod de a capta caracteristicile comune ale funcției theta a lui Jacobi si ale funcției eliptice.
Definiție Seria hipergeometrică fundamentală unilaterală este definită ca:
unde
este permutarea q-factorială. Cazul cel mai important se obține atunci când j = k+1, având forma:
Seria hipergeometrică fundamentală bilaterală corespounde seriei hipergeometrice bilaterale și este definită ca:
Cazul cel mai important se obține atunci când j = k, având forma:
Seria unilaterală poate fi obținută ca un caz special al celei bilaterale facând variabila b egală cu q, cel puțin atunci când nici una dintre variabilele a nu este o putere a lui q, caz în care toți termenii cu n < 0 vor dispărea.
Serii simple Expresiile câtorva serii simple includ:
Identități simple
Cazul special este strâns legat de q-exponențial.
Identitatea lui Ramanujan Ramanujan a dat următoarea identitate:
valabilă pentru și . Similar identitatea a fost dată de Bailey. Astfel de identități pot fi înțelese ca o generalizare a teoremei produsului triplu al lui Jacobi, care poate fi scris folosind q-serii:
Ken Ono a dat următoarea serie de puteri formală:
Referințe Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97-125. Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin. W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series (2004) Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's Summation, (undated) Gwynneth H. Coogan and Ken Ono, A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions , (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131, pp. 719-724
Categorie:Funcții hipergeometrice Categorie:Funcții speciale Categorie:Serii matematice