Идентификация систем — совокупность методов для построения математических моделей динамической системы по данным наблюдений. Математическая модель в данном контексте означает математическое описание поведения какой-либо системы или процесса в частотной или временной области, к примеру, физических процессов (движение механической системы под действием силы тяжести), экономического процесса (реакция биржевых котировок на внешние возмущения) и т. п. В настоящее время эта область теории управления хорошо изучена и находит широкое применение на практике.
История Начало идентификации систем, как предмета построения математических моделей на основе наблюдений, связывают с работой Карла Фридриха Гаусса «Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium», в которой он использовал разработанный им метод наименьших квадратов для предсказания траектории движения планет. Впоследствии этот метод нашёл применение во множестве других приложений, в том числе и для построения математических моделей управляемых объектов, используемых в автоматизации (двигатели, печи, различные исполнительные механизмы). Большая часть ранних работ по идентификации систем была сделана специалистами в области статистики, эконометрики (особенно их интересовали приложения идентификации, связанные с временными рядами) и образовала область под названиваем статистическое оценивание. Статистическое оценивание основывалось также на работе Гаусса (1809) и Фишера (1912)R. A. Fisher. On an Absolute Criterion for Fitting Frequency Curves. — Statistical Science, vol.12,No. 1 (Feb., 1997). — pp. 39-41. .
Приблизительно до 50-х годов XX века, большая часть процедур идентификации в автоматике, основывалась на наблюдении реакций управляемых объектов при наличии некоторых управляющих воздействий (чаще всего воздействий вида: ступенчатое (), гармоническое (), сгенерированный цветной либо белый шум) и в зависимости от того какой вид информации использовался об объекте, методы идентификации делились на частотные и временные. Проблема заключалась в том, что область приложений этих методов была ограничена чаще всего скалярными системами (). В 1960 году Рудольф Кальман представил описание управляемой системы в виде пространства состояний, что позволяло работать и с многомерными () системами, и заложил основы для оптимальной фильтрации и оптимального управления, основывавшихся на данном типе описания.
Конкретно для задач управления, методы идентификации систем были разработаны в 1965 году в работах Хо и КальманаB.L. Ho and R.E. Kalman. Effective construction of linear state-variable models from input-output functions. — Regelungstechnik, vol.12, 1965. — pp. 545—548. , Острёма и БолинаK.J. Astrom and T. Bohlin. Numerical identification of linear dynamic systems from normal operating records. — Proc. IFAC Symp. Self-Adaptive System, 1965. — pp. 96—111. . Эти работы открыли путь разработке двух методов идентификации, популярных до сих пор: методу подпространства и методу ошибки предсказания. Первый основан на использовании проекций в евклидовом пространстве, а второй на минимизации критерия, зависящего от параметров модели.
Работа Хо и Кальмана посвящена поиску модели изучаемого объекта в пространстве состояний, имеющей наименьший порядок вектора состояний, на основе информации об импульсной переходной характеристике. Данная задача, но уже при наличии реализаций случайного процесса, где формируется марковская модель, была решена в 70-х годах в работах ФорреP. Faurre, Realisations markoviennes de processus stationnaires. — Rapport La-boria No.13, IRIA, Rocquencourt, France, Tech. Rep. 1973. и Акайка H. Akaike, Stochastic theory of minimal realization. — IEEE Trans. Automat. Control, vol. 26, pp.667-673, Dec. 1974. . Эти работы заложили создание метода подпространства в начале 1990-х.
Работа же Острёма и Болина представила для сообщества специалистов по идентификации метод максимального правдоподобия, который был разработан специалистами по временным рядам для оценивания параметров моделей в виде разностных уравнений T.C. Koopmans, H. Rubin, and R.B. Leipnik, Measuring the Equation Systems of Dynamic Economics. — (Cowles Commission Monograph, vol. 10, T.C.Koopmans, Ed.). New York: Wiley, 1950. E.J. Hannan, Time Series Analysis.— New York :Methuen, 1960 . Эти модели, которые известны в статистической литературе как ARMA (авторегрессионное скользящее среднее) и ARMAX (авторегрессионное скользящее среднее с входом), позднее, образовали основу для создания метода ошибки предсказания. В 1970, Бокс и Дженкинс опубликовали книгу G.E.P. Box and G.M. Jenkins Time Series Analysis, Forecasting and Control. — Oakland, CA:Holden-Day, 1970. , которая дала значительный импульс к применению методов идентификации во всех возможных для этого областях. Этот труд давал, проще говоря, полный рецепт для идентификации с момента начала сбора информации об объекте до получения и проверки модели. На протяжении 15 лет, эта книга оставалась главным источником по идентификации систем. Важной работой того времени также являлся обзор K.J. Astrom and P. Eykhoff System identification — A survey. Automatica, vol. 7, pp. 123—162, 1971. , посвящённый идентификации систем и анализу временных рядов, опубликованный в IEEE Transactions on Automatic Control в декабре 1974 года. Одним из открытых вопросов тогда был вопрос об идентификации замкнутых систем, для которых метод на основе взаимной корреляции приводит к неудовлетворительным результатам H. Akaike Some problems in the application of the cross-spectral method, — in Spectral Analysis of Time Series, B. Harris, Ed. New York: Wiley, 1967, pp. 81-107. . С середины 1970-х годов, недавно изобретённый метод ошибки предсказания стал доминировать в теории и, что более важно, в приложениях идентификации. Большая часть исследовательской активности сфокусировалась на проблемах идентификации многомерных и замкнутых систем. Ключевой задачей для этих двух классов систем являлось найти условия для эксперимента и способы параметризации проблемы, при которых найденная модель приблизится к единственно точному описанию реальной системы. Обо всей активности того времени можно сказать, что это было время поиска «истинной модели», решения вопросов идентифицируемости, сходимости к точным параметрам, статистической эффективности оценок и асимптотической нормальности оцениваемых параметров. К 1976 году была сделана первая попытка рассмотреть идентификацию систем как теорию аппроксимации, в которой стоит задача наилучшей возможной аппроксимации реальной системы внутри данного класса моделей L. Ljung On consistency and identifiability, — Math. Program. Study, vol. 5, pp. 169—190, 1976. B.D.O. Anderson, J.B. Moore, and R.M.Hawkes, Model approximation via prediction error identification,, — Automatica, vol. 14, pp.615-622, 1978. , L. Ljung and P.E. Caines, Asymptotic normality of prediction error estimators for approximative system models, — Stochastics, vol. 3, pp.29-46, 1979. . Преобладающая точка зрения среди специалистов по идентификации, таким образом, сменилась с поиска описания для истинной системы на поиск описания наилучшей возможной аппроксимации. Важный прорыв также случился, когда Л. Льюнг ввел понятие смещения и ошибки дисперсии для оценивания передаточных функций объектов L. Ljung, Asymptotic variance expressions for identified black-box transfer function models, " IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-30, pp.834-844, 1985. . Работа со смещением и анализ дисперсии полученных моделей в течение 1980-х привела к перспективе рассмотрения идентификации как проблемы синтеза. На основе понимания влияния условий эксперимента, структуры модели и критерия идентификации, основанном на смещении и дисперсии ошибки, возможно так подобрать эти переменные синтеза к объекту, чтобы получить наилучшую модель в данном классе моделей B. Wahlberg and L. Ljung Design variables for bias distribution in transfer function estimation, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-31, pp.134-144, 1986. M. Gevers and L. Ljung, Optimal experiment designs with respect to the intended model application, Automatica, vol. 22, pp. 543—554, 1986. . Данной идеологией пропитана книга Леннарта ЛьюнгаL. Ljung, System identification.Theory for the User, — 2-е изд. — N.J.: PTR Prentice Hall, 1999. — ISBN 0-13-656695-2 , имеющая большое влияние на сообщество специалистов по идентификации.
Идея, что качество модели может быть изменено с помощью выбора переменных синтеза, привела к всплеску активности в 1990-х годах XX века, который продолжается до сих пор. Главное применение новой парадигмы — это идентификация для управления на основе модели. Соответственно, идентификация для задач управления получила широкое развитие со времени своего появления и применение к управлению методов идентификации вдохнуло вторую жизнь в такие уже известные области исследования, как планирование эксперимента, идентификация в замкнутом контуре, частотная идентификация, робастное управление при наличии неопределенности.
Идентификация систем в СССР и России
Главным событием в развитии идентификации систем в СССР являлось открытие в 1968 году Лаборатории № 41 («Идентификации систем управления») в Институте автоматики и телемеханики (ныне Институт проблем управления РАН) при содействии Н. С. Райбмана. Наум Семёнович Райбман одним из первых в стране осознал практическую пользу и теоретический интерес идентификации систем. Им была разработана теория дисперсионной идентификации для идентификации нелинейных систем, а также написана книга под названием «Что такое идентификация?»Н. С. Райбман, Что такое идентификация?. — Москва: Наука, 1970. для объяснения основных принципов нового предмета и для описания круга решаемых идентификацией систем задач. Также впоследствии теорией идентификации интересовался Яков Залманович Цыпкин, разработавший теорию информационной идентификации.
Общий подход Построение математической модели требует 5 базовых вещей:
Априорная информация имеется ещё до получения измерительной информации и характеризует структуру идентифицируемого объекта. По структуре объекты подразделяются на: динамические (поведение выхода зависит от предыдущих значений входа) и статические (поведение выхода зависит только от значений входа в текущий момент времени); стохастические (поведение выхода зависит от случайных факторов) и детерминированные (поведение выхода не зависит от случайных факторов); нелинейные (его реакция на два различных возмущения входа не эквивалентна сумме реакций на каждое из этих возмущений в отдельности) и линейные (реакция на два различных возмущения входа эквивалентна сумме реакций на каждое из этих возмущений в отдельности); дискретные (состояние его входов и выходов изменяется лишь в дискретные моменты времени) и непрерывные (состояние его входов и выходов изменяется непрерывно). Структурная идентификация включает в себя следующие задачи: Выделение объекта из окружающей его и взаимодействующей с ним среды. Ранжирование входов и выходов объекта по степени их влияния на поведение объекта. Определение оптимального числа входов и выходов объекта, учитываемых в модели. Определение характера связей между входами и выходами модели объекта. Набор данных, полученных в результате нормальной работы изучаемого объекта либо при целенаправленном эксперименте . Вход-выходная информация обычно записывается в течение заранее спланированного идентификационного эксперимента, во время которого исследователь может выбрать какие сигналы измерять, когда их измерять и какие входные сигналы использовать. Дисциплина «Планирование экспериментов» может подсказать как сделать экспериментальную информацию наиболее информативной с учётом тех ограничений, которые могут быть наложены на эксперимент. Но, к сожалению, не редка ситуация когда исследователь не имеет возможности проводить эксперимент, а работает с той информацией, которая ему предоставлена.
Множество моделей-кандидатов для использования.