Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: . Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: и унитарные операторы: . Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.
Разложения Аддитивное разложение. , где — перестановочные самосопряжённые операторы,
Мультипликативное (полярное) разложение. , где — положительный самосопряжённый оператор, — унитарный оператор. Операторы и перестановочны как между собой, так и с любым линейным оператором, перестановочным одновременно с и .
Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа через его действительную и мнимую части: , а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме:
Свойства Если оператор нормален, то операторы , , а также обратный оператор (если он существует), тоже нормальны. Линейный непрерывный оператор в гильбертовом пространстве нормален тогда и только тогда, когда для каждого . . Здесь — ядро, — образ оператора . Если при некотором и , то . Собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональны. Теорема о перестановочности. Пусть — линейные непрерывные операторы, причем операторы и нормальны. Если , то . В частности, если оператор перестановочен с нормальным оператором , то он перестановочен и с сопряжённым .
Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси. Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности. Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если , где — нормальные операторы, а оператор обратим, то , где — унитарный оператор. , следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой.
Спектральная теорема
Любому нормальному оператору соответствует семейство проекционных операторов , являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что
и вообще
где — произвольный многочлен от и ; при любом фиксированном прямоугольнике оператор является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов и .
На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций
Случай конечномерного пространства В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица. Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.
Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда он имеет ортонормированную систему собственных векторов. Для нормального оператора каждый из операторов и представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием собственных значений оператора . Если — инвариантное подпространство относительно оператора , то его ортогональное дополнение тоже является инвариантным подпространством для . Матрица является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице, то есть где — унитарная матрица, — диагональная матрица.
Неограниченные операторы Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор (не обязательно ограниченный) в гильбертовом пространстве называется нормальным, если его область определения плотна в , он замкнут и удовлетворяет условию . Для нормального оператора , для любого . Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема.
См. также Самосопряжённый оператор Унитарный оператор Спектральная теорема
Примечания
Литература
Категория:Теория операторов