Уравнение Ричардса, описывающее влагоперенос в зоне аэрации (в ненасыщенной зоне), было сформулировано Лоренцо А. Ричардсом в 1931 году. Оно представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, основная трудность решения которого заключается в отсутствии точных аналитических решений.
Закон Дарси разработан для описания потока влаги в водонасыщенной пористой среде, адаптируя его, Ричардс использовал предложение Букингема (1907) и вывел общее дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает ненасыщенный влагоперенос в зоне аэрации. Наиболее известной формой записи является:
где — коэффициент фильтрации в ненасыщенной зоне, — высота всасывающего давления, — высота над плоскостью сравнения, — объемная влажность, и — время. Уравнение Ричардса аналогично уравнению влагопереноса в насыщенной зоне, переход от одного к другому обусловлен представлением напора в виде h = ψ + z, и заменой насыщенного потока ненасыщенным. Использование формы записи приведённой выше обусловлено удобством описания граничных условий (часто описываемых в терминах напора, например для использования атмосферного условия ψ = 0).
Вывод уравнения В этом разделе будет показан вывод уравнения Ричардса для вертикального влагопереноса в очень упрощенном виде. Закон сохранения массы гласит, что величина изменения водонасыщения в закрытом объёме равна величине изменения суммы всех (отрицательных и положительных) потоков влаги в данном объёме. Опишем это математическим языком:
Введем одномерную форму записи для направления :
Горизонтальный поток описан эмпирическим Законом Дарси:
Подставив q в уравнение выше, получим:
И используем выражение для напора h = ψ + z:
Таким образом, получено уравнение Ричардса .
Формулировка Уравнение Ричардса используется во многих статьях, посвящённых вопросам экологии, потому что оно описывает поток на границе подземных и поверхностных вод (атмосферных осадков, водоемов, рек и т. д.), что является чрезвычайно важным при моделировании миграции различных компонентов. Его так же рассматривают и в чисто математических журналах, потому что его решение не тривиально. Обычно, оно выражается в трёх разных формах. Смешанная форма (mixed form), рассмотренная выше, включает в себя описание в терминах и напора и влажности. А также две другие формы записи, в терминах напора (head-based) и водонасыщения (saturation-based).
Запись в терминах напора
Где C(h) [1/L], [1/м] — это функция водонасыщения от напора:
Эта функция носит название общей гидрофизической характеристики (ОГХ) и может быть определена для различных типов почв на основе метода подбора кривых (метод подбора экспериментального уравнения по кривой) и лабораторных экспериментов, определяющих величину инфильтрации через почвенную (грунтовую) колонку. Одной из наиболее признанных является экспериментальная зависимость, предложенная Ван Генухтеном (van Genuchten) в 1980 году.
Запись в терминах водонасыщения
Где D(θ) [L2/T] — коэффициент влагопереноса:
Ограничения применимости Численное решение уравнения влагопереноса Ричардса критиковалось за большие вычислительные затраты и непредсказуемостьShort, D., W.R. Dawes, and I. White, 1995.Tocci, M. D., C. T. Kelley, and C. T. Miller (1997), Accurate and economical solution of the pressure-head form of Richards' equation by the method of lines, Adv. , обусловленную тем, что нет гарантии, что вычислительный комплекс (solver) найдет решение (сойдется) для конкретных почвенных характеристик. Также отмечалось, что в данном методе преувеличена роль капиллярных силGermann, P. (2010), Comment on “Theory for source-responsive and free-surface film modeling of unsaturated flow”, Vadose Zone J. 9(4), 1000-1101. и в некоторой степени его критиковали за излишнюю простотуGray, W. G., and S. Hassanizadeh (1991), Paradoxes and realities in unsaturated flow theory, Water Resour. . При моделировании одномерного влагопереноса метод требует разбивки высокой дискретности для области граничащей с поверхностью (величина дискретизации должна быть не более одного сантиметра). При трёхмерном моделировании численное решение уравнения Ричардса определяется соотношением сторон, где отношение горизонтального и вертикального размеров ячейки модели в расчетной области должно быть не больше 7.
Ссылки
См. также Гидрогеология Основная гидрофизическая характеристика Finite water-content vadose zone flow method
Категория:Гидрология Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных