Гру́ппа Ло́ренца — группа преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами)Полупрямое произведение группы Лоренца и группы параллельных переносов пространства Минковского по историческим причинам называется группой Пуанкаре. С другой стороны, группа Лоренца содержит в качестве своей подгруппы группу вращений 3-мерного пространства..
Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени:
которые оставляют инвариантной квадратичную форму с сигнатурой (1, 3), которая является математическим выражением четырёхмерного интервала . В частности, группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях , лоренцевы преобразования , отражения пространственных осей : и все их произведения.
Группа Лоренца — частный случай неопределённой ортогональной группы, и поэтому обозначается (либо , что соответствует квадратичной форме с противоположными знаками и переставленными координатами), или , а также .
Специальная группа Лоренца или собственная группа Лоренца — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ±1).
Ортохронная группа Лоренца (также обозначается , и она может быть отождествлена с ), специальная (или собственная) ортохронная группа Лоренца — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты ). Группа , единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.
Иногда условие ортохронности включают в определение группы Лоренца, в этом случае группа, включающая преобразования, которые меняют направление времени, может называться общей группой Лоренца. Иногда также под группой Лоренца подразумевают собственную ортохронную группу Лоренца.
Представления группы Лоренца
Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат . При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: . При этом матрица имеет ранг , равный числу компонент величины . Каждому элементу группы Лоренца соответствует линейное преобразование , единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование , а произведению двух элементов группы Лоренца и соответствует произведение двух преобразований . Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца.
Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца можно построить при помощи спиноров.
Примечания
Литература
(Излагается векторная параметризация группы Лоренца и её применение) . See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q). . A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group. . An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics. . See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C). . See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group. . See also the See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups. . An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group. . See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
См. также Прецессия Томаса Группа Пуанкаре
Категория:Группы Ли Категория:Специальная теория относительности Категория:Релятивистская механика