«Можно ли услышать форму барабана?» — вопрос Липмана Берса, восходящий к Герману Вейлю.
Частоты, на которых барабанная мембрана может вибрировать, однозначно зависят от его формы. Спрашивается: однозначно ли можно восстановить форму барабана, если все его частоты известны?
Формулировка «Можно ли услышать форму барабана?» появляется в статье Марка Каца, опубликованной в 1966 году. Эта статья положила начало активным исследованиям в этом направлении в течение нескольких десятилетий. За неё Кац был удостоен в 1967 году и в 1968 году.
Формулировка Барабан мыслится как плоская область , граница которой фиксирована. Обозначим через её n-ое собственное значение для лапласиана с условием Дирихле на границе. То есть нас интересуют значения , для которых существует функция такая, что
Две области называются изоспектральными, если они имеют одинаковые собственные значения, учитывая кратность.
Поэтому вопрос можно переформулировать так: Существуют ли две изоспектральные и неконгруэнтные области?
Вариации Аналогичные вопросы можно задать про уравнения Лапласа на областях в старших размерностях, также на римановых многообразиях и для других эллиптических дифференциальных операторов, таких как оператор Коши — Римана или оператор Дирака. Можно накладывать другие граничные условия, в частности условие Неймана.
Ответы
Плоские торы Почти сразу Джон Милнор построил пару изоспектральных неизометричных 16-мерных торов. Позже подобные примеры были построены во всех размерностях начиная с четырёх. При этом в размерностях 2 и 3 таких примеров не существует. Трёхмерный случай потребовал серьёзных компьютерных вычислений.
Таким образом, «форму плоского тора нельзя услышать полностью в размерностях 4 и выше».
Области на плоскости
В 1992 году Гордон, Уэбб и Уолперт построили пару неконгруэнтных изоспектральных невыпуклых многоугольников (см. рисунок).
Доказательство того, что оба многоугольника имеют одинаковые собственные значения, использует симметрии и вполне элементарно. Короткое доказательство более общего утверждения приведено в книге Конвея.
Таким образом, «форму барабана нельзя услышать полностью».
Частные случаи Вместе с тем, многие характеристики этой формы восстановимы.
Согласно формуле Вейля, площадь может быть однозначно восстановлена по спектру. По теореме Иврия это же верно и для периметров областей с гладкой границей. Если область выпукла, а её граница аналитическая, то спектр позволяет однозначно установить её форму Вопрос остаётся открытым для невыпуклых областей с аналитической границей. Известно, что множество изоспектральных областей компактно в -топологии. По теореме сравнения Чжэна сфера является спектрально-жёсткой; то есть, многообразие с тем же спектром, что и у сферы, должно быть ей изометрично.
Примечания
Литература
Ссылки Титаренко С. А. Клеточность как необходимое условие спектральной задачи для лапласиана «услышать форму барабана». — Дифференциальные уравнения и математическое моделирование, 2022. — 103-107 с. Титаренко С. А. Можно услышать форму почти любого барабана! — Preprints of the St. Petersburg Mathematical Society, 2020. — 11 с. Some planar isospectral domains by Peter Buser, John Horton Conway, Peter Doyle, and Klaus-Dieter Semmler
Категория:Спектральная теория Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных