Теорема Штольца — утверждение математического анализа, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь опубликовавшего в 1885 году её доказательство австрийского математика Отто Штольца. По своей природе теорема Штольца является дискретным аналогом правила Лопиталя.
Формулировка Пусть и — две последовательности вещественных чисел, причём положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел , то существует и предел , причём эти пределы равны.
Доказательство Ниже приводится доказательство по Фихтенгольцу, другое доказательство приведено в книге Архипова, Садовничего и Чубарикова.
Допустим сначала, что предел равен конечному числу , тогда для любого заданного существует такой номер , что при будет иметь место: .
Значит, для любого все дроби:
лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности ), то, по свойству медианты, между теми же границами содержится и дробь: , числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумма всех знаменателей. Итак, при : . Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно): , откуда имеем . Второе слагаемое при становится меньше , первое слагаемое также станет меньше , при , где — некоторый достаточно большой номер, в силу того, что . Если взять , то при будем иметь , что и доказывает наше утверждение.
Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости: , из этого следует, что при достаточно больших : и , причём последовательность строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению : , откуда и следует, что: .
Если предел равен , то нужно рассмотреть последовательность .
Следствие Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность сходится к числу , то последовательность средних арифметических сходится к этому же числу.
Примечания
Литература
Категория:Ряды и последовательности Штольца Категория:Пределы