Теорема Левинсона — даёт условие гарантирующее что две системы асимптотически эквивалентны.
Формулировка теоремы Пусть решения системы
где — постоянная -матрица, ограничены на . Тогда система
где и
асимптотически эквивалентна системе .
Доказательство (Идея изложенного ниже доказательства принадлежит Брауэру Brauer, Nonlinear differential equations with forcing terms, Proc. Amer. Math. Soc. 15, 5 (1964), 758-765)
Поскольку решения системы ограничены, то характеристические корни матрицы удовлетворяют равенству
причем характеристические корни с нулевыми действительными частями имеют простые элементарные делители.
Без ограничения общности предположим, что матрица имеет квазидиагональный вид
где и -- соответственно, - и -матрицы такие, что
Действительно, это можно получить с помощью простых преобразований и где — постоянная -матрица, причем взаимно однозначное соответствие между новыми интегральными кривыми индуцирует взаимно однозначное соответствие между старыми интегральными кривыми .
Кроме того, из предельного отношения при очевидно, следует предельное отношение при . Пусть -- фундаментальная матрица системы нормированная в нуле: а и где и -- единичные матрицы соответствующих порядков q и p, при этом, очевидно,
Положим где и .
Отсюда матрицу Коши можно представить в виде:причем при условии имеем при
и при где - некоторые положительные константы.
Используя метод вариации произвольных постоянных, дифференциальное уравнение можно записать в интегральной форме где произвольное.Поскольку матрица абсолютно интегрирована на то все решения системы ограничены на и поэтому несобственный интеграл является сходящимся.
Отсюда, учитывая, что наше интегральное уравнение можно представить в видеРешению системы с начальным условием сопоставим решение системы с начальным условием Поскольку решения и полностью определяются своими начальными условиями, то формула устанавливает однозначное соответствие между множеством всех решений системы и множеством решений (или ее частью) системы . Заметим, что отношение непрерывное относительно начального значения
Покажем, что соответствие между решениями и что определяется формулой является взаимно однозначным и распространяется на все множество решений .
Пусть -- фундаментальная матрица системы такая, что . Имеем Но из неравенств следует при ;
поэтому и в силу леммы Гронуолла-Беллмана находимприпричем константа по оценке не зависит от выбора начального момента
Очевидно, имеем Поэтому из формулы получаем где причем на основе выводимПоскольку матрица абсолютно интегрирована на , то при , следовательно, в силу начальный момент можно выбрать настолько большим, чтобы имело место
В дальнейшем будем считать фиксированным и предполагать наличие неравенства . Отсюда и из формулы выводим Поскольку формулы и равносильны, то для каждого решения системы с начальным условием найдется только одно решение системы которое соответствует установленному выше отношению, а именно, это решение, начальное условие которого определяется формулой
Соответствие между решениями и , которое устанавливается формулами и -- взаимно однозначное, т.е. каждому решению соответствует одно и только одно решение , и наоборот.
Отметим, что тривиальному решению соответствует тривиальное решение и в силу линейности соотношений и различными решениям и системы отвечают разные решения и системы и наоборот.
Для соответствующих решений и оценим норму их разности. Поскольку, это очевидно, что где определяется формулой , то из формулы имеем Отсюда, учитывая, что при на основе оценок и получаем
Учитывая абсолютную интегрируемость матрицы при имеем если Итак,
Таким образом, из неравенства выводим
то есть системы и асимптотически эквивалентны. Доказано.
См. также Лемма Гронуолла-Беллмана Асимптотически эквивалентные системы
Примечания
Источники Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рус.) Категория:Математические теоремы Категория:Матрицы