Потенциальный оператор — математический оператор, отображающий открытое множество вещественного нормированного пространства в сопряжённое пространство и являющийся градиентом некоторого функционала с областью значений в сопряжённом пространстве.
Определение Обозначим — вещественное нормированное пространство, — сопряжённое к нему пространство, — открытое множество из . Оператор называется потенциальным, если для всякого существует такой функционал , что . Функционал называется потенциалом оператора .
Условие потенциальности операторов Пусть оператор дифференцируем по Гато в каждой точке выпуклого открытого множества . Тогда если дифференциал непрерывен по в каждой точке из , то для потенциальности в необходимо и достаточно, чтобы был симметрическим в .
Пояснения Оператор называется симметрическим в точке , если он имеет дифференциал Гато в некоторой окрестности точки и для любых выполняется равенство .
Оператор Немыцкого Оператор Немыцкого задаётся формулой , где — вещественная функция, непрерывная по при почти каждом фиксированном и измерима как функция при всяком фиксированном и выполнено неравенство , где , , — измеримое множество конечной или бесконечной лебеговой меры, принадлежащее -мерному евклидову пространству.
Оператор Немыцкого является непрерывным потенциальным оператором. Он действует из пространства Лебега в пространство Лебега , где и его потенциал определяется формулой , где — произвольное число.
Примечания
Литература
Категория:Функциональный анализ Категория:Теория операторов