Гипотеза Чебышёва (смещение Чебышёва) — теоретико-числовая гипотеза, выдвинутая Пафнутием Чебышёвым в 1853 году: доля простых чисел, дающих остаток 3 при делении на 4, незначительно, но устойчиво превышает долю простых чисел, дающих остаток 1 при делении на 4. Иначе говоря, для произвольно выбранного большого числа суммарное количество простых чисел вида , таких что , будет с большой вероятностью больше суммарного количества простых чисел вида . Доказана только в предположении выполнения некоторой усиленной формы гипотезы Римана.
Если — число простых вида , не превышающих (по аналогии с функцией распределения простых чисел), то в соответствии с теоремой о распределении простых чисел, распространённой на арифметическую прогрессию: . То есть первая половина простых чисел должна быть вида , и другая — . Может казаться, что случаи и случаи должны встречаться в 50 % всех исходов каждый; но это противоречит эмпирическим свидетельствам — последний случай справедлив для всех простых , кроме 5, 17, 41 и 461, для которых .
В общем случае, если и — взаимно простые целые числа, , где первое число является квадратичным остатком, а второе число не является квадратичным остатком по модулю , тогда по эмпирическим наблюдениям случается чаще, чем в противоположном случае. Общий случай также доказан в предположении справедливости сильной формы гипотезы Римана. Однако предположение 1962 годаS. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory,I, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 13 (1962), 299—314 о том, что плотность простых чисел для которых выполняется равна 1, оказалось ложным: они имеют логарифмическую плотность, примерно равную .
Примечания
Ссылки P. L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4 + 1 et 4 + 3, Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg, 11 (1853), 208.
J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), Analysis, 15 (1995), 159—171.
Категория:Аналитическая теория чисел Категория:Гипотезы о простых числах