Числа Лагранжа — это последовательность чисел, которые появляются в границах, связанных с приближением иррациональных чисел рациональными. Числа связаны с теоремой Гурвица.
Определение
Гурвиц улучшил критерий Дирихле иррациональности до утверждения, что вещественное число α иррационально тогда и только тогда, когда существует бесконечно много рациональных чисел p/q, (в несократимом виде), таких, что
У Дирихле в правой части стояло 1/q2. Вышеприведённый результат является наилучшим, поскольку золотое сечение φ является иррациональным, но если мы заменим любым бо́льшим числом в вышеприведённом выражении, мы получим только конечное количество рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству для α = φ.
Гурвиц, однако, показал, что если мы исключим φ и производные от него числа, мы можем увеличить число . Фактически он показал, что мы можем заменить его на 2. Снова, это новое число является наилучшим возможным при новых условиях и на этот раз становится проблемным число . Если мы запрещаем , мы можем увеличить число в правой части неравенства с 2 до /5. Повторяя этот процесс, получим бесконечную последовательность , 2, /5, ..., сходящуюся к 3. Эти числа называются числами Лагранжа по имени французского математика Жозефа Луи Лагранжа.
Связь с числами Маркова
Число Лагранжа с номером n, Ln, задаётся формулой , где mn — n-ое число Маркова, являющееся наименьшим n-м целым m, таким, что уравнение
имеет решение для целых положительных чисел x и y.
Примечания
Литература
Ссылки Lagrange number. From MathWorld at Wolfram Research. Introduction to Diophantine methods irrationality and transcendence — Online lecture notes by Michel Waldschmidt, Lagrange Numbers on pp. 24–26.
Категория:Диофантовы приближения