Ве́кторная диагра́мма — графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков — векторов. Векторные диаграммы широко применяются в электротехнике, акустике, оптике, теории колебаний и так далее.

Гармоническое (то есть синусоидальное) колебание может быть представлено графически в виде проекции на некоторую ось (обычно берут ось координат Оx) вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω. Длина вектора соответствует амплитуде, угол поворота относительно оси (Ox) — фазе.

Сумма (или разность) двух и более колебаний на векторной диаграмме представлена при этом (геометрической) суммойполученной по правилу параллелограмма, треугольника или (в случае суммирования многих векторов) ломаной. (или разностью) векторов этих колебаний. Мгновенное значение искомой величины определяется при этом проекцией вектора суммы на ось Оx, амплитуда — длиной этого вектора, а фаза — углом его поворота относительно Ox.

Векторные диаграммы и комплексное представление Векторные диаграммы можно считать вариантом (и иллюстрацией) представления колебаний в виде комплексных чисел. При таком сопоставлении ось Ox соответствует оси действительных чисел, а ось Oy — оси чисто мнимых чисел (положительный единичный вектор вдоль которой есть мнимая единица).

Тогда вектор длиной A, вращающийся в комплексной плоскости с постоянной угловой скоростью ω с начальным углом φ0, запишется как комплексное число

а его действительная часть

-есть гармоническое колебание с циклической частотой ω и начальной фазой φ0.

Хотя, как видно уже из вышесказанного, векторные диаграммы и комплексное представление колебаний теснейшим образом связаны и по сути представляют собой варианты или разные стороны одного и того же метода, они, тем не менее, обладают своими особенностями и могут применяться и по отдельности.

Метод векторных диаграмм может излагаться отдельно в курсах электротехники или элементарной физики, если по тем или иным причинам (обычно связанным с умеренным уровнем математической подготовки учащихся и недостатком времени) надо избежать использования комплексных чисел (в явном виде) вообще. Метод комплексного представления (который при необходимости или желании может включать и графическое представление, что, правда, совершенно не обязательно и иногда излишне) вообще говоря более мощен, так как естественно включает в себя, например, составление и решение систем уравнений любой сложности, в то время как метод векторных диаграмм в чистом виде всё же ограничен задачами, подразумевающим суммирование, которое можно изобразить на одном чертеже. Однако метод векторных диаграмм (в чистом виде или в качестве графической составляющей метода комплексного представления) — более нагляден, а значит в некоторых случаях потенциально более надежен (позволяет до некоторой степени избежать грубых случайных ошибок, которые могут встречаться при абстрактных алгебраических вычислениях) и позволяет в некоторых случаях достичь в каком-то смысле более глубокого понимания задачи.

Примеры применения

Механика; гармонический осциллятор Гармонический осциллятор в механике и гармонический осциллятор любой природы формально представляют точную аналогию, поэтому рассмотрим их в одном параграфе на примере механического гармонического осциллятора. Применение векторных диаграмм в механике сводится в основном к случаю гармонического осциллятора (в том числе имеется в виду и случай осциллятора с линейной по скорости силой трения); впрочем, векторные диаграммы могут быть до некоторой степени полезны и для исследования нескольких осцилляторов в том числе и в пределе бесконечного их количества (для колебаний или волн в распределенных системах). С современной точки зрения применение векторных диаграмм к гармоническому осциллятору представляет скорее только исторический и педагогический интерес, однако тем не менее в принципе они здесь вполне применимы. В механике применение векторных диаграмм (обычно подразумевается их применение к одномерному осциллятору) имеет ту особенность, что добавляющаяся вторая координата для превращения колебаний во вращение может иметь не только чисто формальный абстрактный смысл, но для одномерной механической системы такого сорта может быть указана механическая же двумерная система, для которой векторная диаграмма первой реализуется как вполне реальное двумерное механическое движение, и все векторы реально двумерны (а после проецирования всех их и движения точки двумерной системы на одну ось, мы получаем мгновенные значения соответствующих величин — в том числе положения — для соответствующей одномерной системы); таким образом, для механической одномерной системы возможна не только формальная математическая, но и реальная механическая модель, переводящая колебательное одномерное движение во вращательное движение в двумерном пространстве, реализующая в себе векторную диаграмму для одномерной системы.

Разберем два основных случая простого применения векторных диаграмм в механике (как замечено выше, также применимых к гармоническому осциллятору не только механической, но любой природы): осциллятор без затухания и без внешней силы и осциллятор с (линейным) затуханием (вязкостью), и внешней вынуждающей силой.

Свободные гармонические колебания без затухания Идея, в механической формулировке, заключается в достраивании одномерного движения до двумерного таким образом, чтобы вектор скорости имел ту же компоненту по оси x, что и в одномерном случае, и был перпендикулярен радиус-вектору (проекция которого на ось x и есть координата x в одномерной системе).

Если двумерная скорость (на диаграмме) не меняется по величине (по модулю), то можно показать, что ускорение направлено также под прямым углом к скорости и направлено в точности противоположно радиус-вектору (центростремительное ускорение).

Что касается соотношения величин векторов, то, исходя из довольно очевидного геометрически факта, что конец любого вектора длиной L, вращающегося вокруг своего начала с угловой частотой ω, описывает окружность, длина которой равна ωL (где L — её текущий радиус), и , предполагая, что движение на двумерной диаграмме чисто вращательное, легко понять, что линейная скорость оконечной точки составит -

и линейное ускорение будет равно

То есть, для вектора ускорения получаем, что его величина равна а направление — противоположно направлению (из-за поворота дважды на 90 градусов).

(Таким образом мы получили, по ходу дела, и теорему о центростремительном ускоренииВпрочем, можно считать её известной независимо, так как собственно пока рассматривалось просто двумерное движение, не являющееся само по себе предметом метода векторных диаграмм, а скорее используется в нём. С другой стороны, мы уже замечали, что почти всё содержание метода векторных диаграмм в пределах данного параграфа может быть переформулировано в терминах простой аналогии с двумерным движением.).

Естественным расширением возвращающей силы одномерного осциллятора

до двумерной, удовлетворяющей условию совпадения x-компоненты силы с одномерной, будет

Тогда видим, что можно подобрать скорость вращения так, чтобы все векторы оставались неизменными по величине, и только вращались с угловой скоростью ω. А именно, если то

(При этом длину вектора может быть взята любой, она сокращается в этом уравнении; также может быть взят любым угол поворота начального положения ).

То есть мы нашли решение для двумерной системы (соответствующей векторной диаграмме), а следовательно проекция этого решения на ось x — есть решение уравнения движения для одномерной системы, то есть

где а константы  — любые, есть решение уравнения движения гармонического осциллятора

Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой Аналогично можно рассмотреть решение уравнения движения гармонического осциллятора со внешней вынуждающей силой f:

(Здесь в правой части первый член — обычная гуковская возвращающая сила, второй — вязкое трение, третий — внешняя вынуждающая сила — подразумевается, что она зависит только от времени и не зависит от x).

Поскольку практически любаяТо есть зависящая от времени как угодно, иначе говоря, произвольная функция f(t). Конечно, на класс допустимых функций f(t) следует наложить требование физической разумности, например, считать их конечными или (поскольку класс допустимых функций иногда разумно сделать ещё более широким) хотя бы интегрируемыми в каком-то смысле. сила f может быть разложена в ряд или интеграл Фурье, то есть представлена как сумма (дискретная сумма или интеграл) синусоидальных сил, задача сводится к задаче с синусоидальной силой

(Вследствие линейности уравнения движения, решение для суммы нескольких или даже бесконечного числа синусоидальных f будет суммой решений для каждого из этих f). (Кроме того, и случай чисто синусоидальной силы (а даже не суммы разных синусоид) может быть важен сам по себе).

Рецепт решения этой задачи методом векторных диаграмм таков: каждая одномерная кинематическая или динамическая величина (координата, скорость, ускорение, сила) заменяется (чисто формально — или — если угодно — в рамках сопоставления исходной одномерной системе модельной двумерной механической системы) на двумерную.

При этом пытаемся подобрать эти векторы так, чтобы двумерное движение сводилось к чистому вращению.

Для этого надо потребовать, чтобы суммарная сила, действующая на массу осциллятора (являющуюся материальной точкой), была направлена всегда к одной и той же точке (центру вращения), а по величине равнялась величине центростремительного ускорения, умноженного на массу.

Исходя из этих условий получаем уравнение на соотношение модулей векторов (соответствующих, очевидно, амплитудам колебания соответствующих одномерных величин), а также и на их углы (соответствующие фазам одномерных колебаний).

Разумно, исходя из симметрии, предположить, что вращение должно происходить относительно начала координат (точки равновесия).

Тогда ускорение должно быть направлено к этой точке (ведь мы имеем в виду правильное равномерное вращение), а значит, имеем два условия, если рассмотрим компоненты сил и ускорения по оси, соответствующей радиус вектору и по оси перпендикулярной ей. Эти два условия записываются как уравнения

и

соответственно. (Здесь r — модуль радиус-вектора, f с разными индексами — компоненты вектора внешней силы вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему; первое уравнение содержит количественный баланс радиальных сил и центростремительного ускорения, а второе означает компенсацию поперечных сил, которая необходима, чтобы в итоге сила была направлена по линии радиус-вектора, то есть была центростремительной).

Разрешая каждое из этих двух уравнений относительно компоненты силы f, а затем возводя каждое в квадрат и сложив, имея в виду по теореме Пифагора , получаем:

а отсюда:

то есть выражение для амплитуды колебания при заданной амплитуде вынуждающей силы f.

(Аналогично — из отношения выписанных компонент силы, представляющего тангенс искомого угла — находится и угол, под которым вектор силы на диаграмме наклонен к радиус-вектору. А этот угол и есть запаздывание фазы колебаний x относительно фазы колебаний приложенной внешней силы).

Как видим, исследование колебаний под действием вынуждающей синусоидальной силы (из которого в числе прочего получаются условия резонанса итд итп) для гармонического осциллятора вполне успешно осуществляется методом векторных диаграмм. Впрочем, для исследования других вопросов, таких, как получение затухающего решения в отсутствие внешней вынуждающей силы, такой метод не слишком удобно применимВ принципе, можно предложить некие пути его применения, однако они довольно искусственны и в любом случае не дают возможности просто получить прямой ответ сразу в естественной форме, как это было сделано для задачи, разобранной выше..

Расчет электрических цепей