Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов.
Специальные функции возникают обычно из следующих задач: «неберущиеся» интегралы; функции, выраженные в виде обратных; в т. ч. решения трансцендентных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях; решения дифференциальных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях; ряды, не сходящиеся к элементарным функциям; математическое выражение свойств чисел; необходимость задания функции с необычными свойствами.
Это разделение не является строгим, поскольку, например, большинство неэлементарных решений дифференциальных уравнений удалось выразить через «неберущийся» интеграл или в виде ряда. Поэтому не существует строгой классификации трансцендентных функций.
Большинство специальных функций являются трансцендентными.
Функции-интегралы К таким специальным функциям относятся: бета-функция, гамма-функция, интегральный логарифм, интегральная экспонента, интеграл вероятности, интегральный синус, интегральный косинус, эллиптические функции, интегралы Френеля.
Функции, обратные к элементарным Для обратимой элементарной функции обратная не всегда может быть выражена через элементарные. Такие функции часто возникают при решении уравнений. Примерами являются W-функция Ламберта; корень Бринга; решение уравнения Кеплера — функция, обратная к , .
Функции-ряды К таким функциям относятся гипергеометрическая функция, дзета-функция Римана, дзета-функция Гурвица, полилогарифм, .
Неэлементарные решения дифференциальных уравнений К таким специальным функциям относятся: сферические функции, цилиндрические функции, функции Эйри, функции параболического цилиндра, функции Матьё, функции Бесселя.
Необычные функции Существуют много функций с необычным поведением, придуманных для различных целей. Это функция Дирихле, функция Хевисайда.
Функции, выражающие свойства чисел Эти функции обычно связаны с простейшими свойствами чисел. Сюда прежде всего можно отнести специальные арифметические функции, знак числа, факториал.
См. также Проект Бейтмена — проект по созданию многотомного энциклопедического издания по теории специальных функций
Литература Математический энциклопедический словарь, — Любое издание. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции, — М.: Наука, 1978. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 1 — 1953. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 2 — 1953. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Наука, 1967. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 3 — 1955. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. — М.: Наука, 1969. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 1 — 1954. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. — М.: Наука, 1970. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 2 — 1954. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. — М.: Мир, 1980.
Ссылки О. М. Киселёв. Зоопарк чудовищ или знакомство со специальными функциями. EqWorld. Проект Бейтмена Biographies: Harry Bateman Biographies: Arthur Erdélyi Высшие трансцендентные функции
Категория:Математический анализ Категория:Дифференциальные уравнения