Нечёткое множество (иногда размытое, туманное, пушистое) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Лотфи А. Заде Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений (пер. с анг. В. А. Горелик, С. А. Орловский, Н. И. Ринго) // Математика сегодня. — М., Знание, 1974. — с. 5-48, в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечёткого множества) может принимать любые значения в интервале , а не только значения или . Является базовым понятием нечёткой логики.
Устаревшее название: расплывчатое множествоЛеоненков А. В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 736 с.: ил. ISBN 5-94157-087-2.
Определение Под нечётким множеством понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов универсального множества и соответствующих степеней принадлежности : , причём — функция принадлежности (обобщение понятия характеристической функции обычных чётких множеств), указывающая, в какой степени (мере) элемент принадлежит нечёткому множеству . Функция принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве . Множество называют множеством принадлежностей, часто в качестве выбирается отрезок . Если (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.
Основные определения Пусть нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда: носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество ; величина называется высотой нечёткого множества . Нечёткое множество нормально, если его высота равна . Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным; нечёткое множество пусто, если . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле ; нечёткое множество унимодально, если только на одном из ; элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .
Сравнение нечётких множеств Пусть и — нечёткие множества, заданные на универсальном множестве . содержится в , если для любого элемента из функция его принадлежности множеству будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству : . В случае, если условие выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества в , которое определяется так: , где . Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге: . В случае, если значения функций принадлежности и почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств и , например, в виде , где .
Свойства нечётких множеств -срезом нечёткого множества , обозначаемым как , называется следующее чёткое множество: , то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):
Для -среза нечёткого множества истинна импликация: .
Нечёткое множество является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:
для любых и .
Нечёткое множество является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:
для любых и .
Операции над нечёткими множествами При множестве принадлежностей Пересечением нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности и : . Произведением нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности: . Объединением нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся максимумом функций принадлежности и : . Суммой нечётких множеств и называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности: . Отрицанием множества называется множество с функцией принадлежности: для каждого .
Альтернативное представление операций над нечёткими множествами
Пересечение В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом: , где функция — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:
, для
Объединение В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом: , где функция — T-конорма. Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:
, для
Связь с теорией вероятностей Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности можно рассматривать как вероятность накрытия элемента некоторым случайным множеством .
Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики. Например, в теории управления существует направление, в котором для синтеза экспертных регуляторов вместо методов теории вероятностей используются нечёткие множества (нечёткие регуляторы).
Примеры Пусть: множество множество принадлежностей и — два нечётких подмножества
Результаты основных операций: пересечение: объединение:
См. также Мягкое множество
Примечания
Литература
Категория:Теория множеств Категория:Нечёткая логика