Субфакториал — количество беспорядков заданного числа, то есть количество перестановок заданного порядка без неподвижных точек — по аналогии с факториалом, определяющим общее количество перестановок. Стандартное обозначение — .
Одно из объяснений: есть число способов положить пронумерованных писем в пронумерованных конвертов (по одному в каждый), чтобы ни одно из писем не попало в конверт с соответствующим ему номером («задача о письмах»). Термин введён в конце XIX века, но неявно в комбинаторных задачах использовался и ранее.
+ Субфакториалы всех чисел составляют n !n 0 1 1 0 2 1 3 2 4 9 5 44 6 265 7 1 854 8 14 833 9 133 496 10 1 334 961 11 14 684 570 12 176 214 841 13 2 290 792 932 14 32 071 101 049 15 481 066 515 734 16 7 697 064 251 745 17 130 850 092 279 664 18 2 355 301 661 033 953 19 44 750 731 559 645 104 20 895 014 631 192 902 121 21 18 795 307 255 050 944 540 22 413 496 759 611 120 779 881 23 9 510 425 471 055 777 937 262
Свойства Субфакториал можно вычислить с помощью принципа включения-исключения: .
Некоторые другие способы вычисления: , где обозначает неполную гамма-функцию, а — основание натурального логарифма; , где обозначает ближайшее к целое число (округление); , где обозначает целую часть числа.
Некоторые рекуррентные формулы:
, где и (начальные члены последовательности — 1, , …;
Число является субфакторионом, то есть равно сумме субфакториалов своих цифр (аналог факториона)J. S. Madachy, 1979: .
Субфакториал иногда допускается в математических играх типа получения различных результатов из определённых цифр (например, известна игра Четыре четвёрки, где равенство !4 = 9 может принести пользу).
Примечания
Литература
Категория:Целочисленные последовательности