Многочлен Лежа́ндра (полином Лежандра) — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке в пространстве . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.
Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.
Определение
Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
где — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени можно представить через формулу Родрига в виде
Часто вместо записывают косинус полярного угла:
Уравнение () можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра
где , — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при (в частности, при действительных ) или когда действительная часть числа больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или сферическими функциями (гармониками). Подстановка вида в () даёт уравнение Гаусса, решение которого в области принимает вид
где — гипергеометрическая функция. Подстановка в () приводит к решению вида
определённым на . Функции и называют функциями Лежандра первого и второго рода.
Справедливы соотношения
и
Выражение через суммы Многочлены Лежандра также определяются по следующей формуле:
Рекуррентная формула Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при ):
причём первые две функции имеют вид
Производная полинома Лежандра Вычисляется по формуле
Корни полинома Лежандра Вычисляются итеративно по методу Ньютона:
причём начальное приближение для -го корня () берётся по формуле
Значение полинома можно вычислять, используя для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя .
Формулы с разложениями Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями: для для
Следовательно,
Присоединённые многочлены Лежандра Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле
которую также можно представить в виде
При функция совпадает с .
Нормировка по правилу Шмидта Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом:
Сдвинутые многочлены Лежандра Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как , где сдвигающая функция (это аффинное преобразование) выбрана так, чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов на интервал , в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены :
Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как
Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является
Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра: {| class="wikitable" ! n ! |- | 0
| 1
| 2
| 3
|4
Матрица функции многочлена Лежандра
Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны , где .
Примеры
Первые многочлены Лежандра в явном виде:
Поскольку , то
Свойства Если , то Для степень равна . Сумма коэффициентов многочлена Лежандра равна 1. Уравнение имеет ровно различных корней на отрезке Пусть . Тогда
Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения
При уравнение принимает вид
Производящая функция для многочленов Лежандра равна
Условие ортогональности этих полиномов на отрезке :
где — символ Кронекера. Для норма равна
Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой следующим соотношением:
При каждом система присоединённых функций Лежандра полна в . В зависимости от и присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:
— чётная функция, — нечётная функция.
, поскольку , а . Для выполняется .
Ряды многочленов Лежандра
Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра Липшицевая функция является функцией со свойством , где . Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.
Пусть — пространство непрерывных отображений на отрезке , , и .
Пусть
тогда удовлетворяет следующему условию:
Пусть и удовлетворяет следующим условиям: , где
Липшицеву функцию можно записать следующим образом:
Разложение голоморфной функции Всякая функция , голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:
Теорема сложения Для величин, удовлетворяющих условиям , , , — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:
или, в альтернативной форме через гамма-функцию:
Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как
при условиях , , , .
Функции Лежандра
Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ) естественно возникают в теории потенциала.
Шаровые функции — это функции (в сферических координатах ) вида (с точностью до константы) и где — присоединённые многочлены Лежандра. Они также представимы в виде , где — сферические функции.
Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в .
Реализация Вычисление многочленов Лежандра реализовано во многих системах компьютерной алгебры: LegendreP[i, η] в Mathematica LegendreP(v, x) — полиномы Лежандра первого рода, LegendreQ(v, x) — полиномы Лежандра второго рода в Maple legendre(n,X) — в MATLAB
См. также Фильтр Лежандра
Примечания
Литература
Категория:Ортогональные многочлены