Алгоритм распространения доверия (, также алгоритм «sum-product») — алгоритм маргинализации с помощью двунаправленной передачи сообщений на графе, применяемый для вывода на графических вероятностных моделях (таких как байесовские и марковские сети). Предложен Дж. Перлом в 1982 году.
Постановка задачи
Рассмотрим функцию:
, где
Чтобы получить вероятность, необходимо её нормализовать:
Рассматриваются следующие задачи: Задача нормализации:
найти
Задача маргинализации:
найти
Задача нормализованной маргинализации
найти
Все эти задачи NP-полны, так что сложность их решения в худшем случае возрастает экспоненциально. Однако некоторые частные случаи можно решить быстрее, чем и занимается данный алгоритм.
Структура графа Граф, используемый алгоритмом, состоит из вершин, соответствующих переменным, и вершин, соответствующих функциям. Функции соединены с переменными, от которых они зависят.
Пример Например, функции
соответствует следующий граф:
Передача сообщений В графе пересылаются сообщения двух видов: от функций к переменным и от переменных к функциям.
От переменной к функции :
(здесь — множество вершин, соседних с i)
От функции к переменной :
При этом пустое произведение считаем равным единице. Из этих формул видно, что если у вершины всего одна соседняя точка, то её (вершины) сообщение можно вычислить, не зная входящих сообщений.
Алгоритм Существует два подхода, в зависимости от характера полученного графа:
Подход 1 Предположим, что граф является деревом. Начиная с листьев будем постепенно обходить все вершины и вычислять сообщения (при этом применяется стандартное правило передачи сообщений: сообщение можно передавать только в том случае, если его можно полностью построить).
Тогда за количество шагов, равное диаметру графа, работа алгоритма закончится.
Подход 2 Если граф не является деревом, то можно начать с того, что все переменные передают сообщение 1, а потом уже его модифицируют, когда до них доходят сообщения от функций.
Такой алгоритм в общем случае работает неверно и делает много лишнего, но все же полезен на практике.
Вычисление маргиналов Когда рассылка сообщений закончена, маргиналы вычисляются по следующей формуле:
Нормализация на лету Если нужно рассчитать только нормализованные маргиналы (настоящие вероятности), то можно на каждом шаге нормализовать сообщения от переменных к функциям:
,
где подобраны так, чтобы
Математическое обоснование алгоритма С математической точки зрения алгоритм перераскладывает изначальное разложение:
в произведение:
,
где соответствует узлам-функциям, а — узлам-переменным.
Изначально, до передачи сообщений и
Каждый раз, когда приходит сообщение из функции в переменную, и пересчитываются:
,
Очевидно, что общее произведение от этого не меняется, а по окончании передачи сообщений станет маргиналом .
Ссылки С. Николенко. Курс «Вероятностное обучение»
Категория:Информатика Категория:Теория вероятностей