Проективный предел (обратный предел) — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект по семейству (индексированному направленным множеством) однотипных объектов и набору отображений , . Один из видов пределов в теории категорий.
Для проективного предела обычно используются следующие обозначения: , .
Проективный предел можно определить в произвольной категории. Двойственное понятие — прямой предел.
История
Проективные пределы появляются в работах Александрова. Александров П. С., «Аnn. of Math. », 1928, v. 30, p. 101-87.
Определение
Алгебраические структуры Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть — направленное множество (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу сопоставлена алгебраическая система из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп, модулей над заданным кольцом), а каждой паре , такой что , , сопоставлен гомоморфизм , причём — тождественные отображения для любого и для любых из . Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это подмножество прямого произведения , для элементов которого каждая компонента эквивалентна компонентам с меньшими индексами:
Существуют канонические проекции , выбирающие -ю компоненту прямого произведения для каждого . Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.
Общий случай
В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда называется проективным пределом системы , или , если выполнены следующие условия: существует такое семейство отображений , что для любых ; для любого семейства отображений , произвольного объекта , для которого выполнены равенства для любых , существует единственное отображение , что , для всех .
Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы .
Примеры Целые -адические числа являются проективным пределом последовательности с естественными отображениями вида «взятие остатка» при . Кольцо формальных степенных рядов над коммутативным кольцом — проективный предел колец , индексированных натуральными числами, с естественными проекциями . Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств (с дискретной топологией) с проекциями на первые несколько координат в качестве отображений. Проконечные группы определяются как проективные пределы конечных (дискретных) групп. В категории топологических пространств проективные пределы задаются на соответствующем множестве-носителе.
Примечания
Литература
Категория:Универсальная алгебра Категория:Общая топология Категория:Теория категорий Категория:Пределы (теория категорий)