Функция Мёбиуса — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.
Определение определена для всех натуральных чисел и принимает значения в зависимости от характера разложения числа на простые сомножители:
, если свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение на простые множители состоит из чётного числа сомножителей; , если свободно от квадратов и разложение на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей; , если не свободно от квадратов.
По определению также полагают .
У Ивана Матвеевича Виноградова в книге «Элементы высшей математики» встречается следующее определение функции Мёбиуса:
Функция Мёбиуса — мультипликативная функция, определённая равенствами:
Из этих двух равенств и мультипликативности самой функции выводятся её значения для всех натуральных аргументов.
Свойства и приложения
Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел и выполняется равенство . Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа , не равного единице, равна нулю
Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества множество его подмножеств чётной мощности равномощно множеству его подмножеств нечётной мощности — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.
где n — положительное целое число.
где — это постоянная Эйлера.
Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:
.
Ряд абсолютно сходится при , на прямой сходится условно, в области утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при ряд заведомо не сходится, даже условно.
При справедлива также формула:
где p — простое число. Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса, также тесно связанной с задачей о нулях дзета-функции Римана
Справедливы асимптотические соотношения:
при ,
из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна , а плотность множества единиц (или минус единиц) . На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.
Обращение Мёбиуса
Первая формула обращения Мёбиуса
Для арифметических функций и ,
тогда и только тогда, когда .
Вторая формула обращения Мёбиуса
Для вещественнозначных функций и , определённых при ,
тогда и только тогда, когда .
Здесь сумма интерпретируется как .
Обобщённая функция Мёбиуса Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.
Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения . Будем считать, что .
Определение Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.
Формула обращения Пусть функции и принимают вещественные значения на множестве и выполнено условие .
Тогда
Связь с классической функцией Мёбиуса Если взять в качестве множество натуральных чисел, приняв за отношение отношение , то получим , где — классическая функция Мёбиуса.
Это, в частности, означает, что , и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества , так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.
См. также Свёртка Дирихле
Литература
Ссылки
Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5, 2013. Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013. Обобщённая формула обращения Мёбиуса
Категория:Арифметические функции