Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (обозначение:  число, синус которого равен ) арккосинус (обозначение:  число, косинус которого равен и т. д.) арктангенс (обозначение: ; в иностранной литературе ) арккотангенс (обозначение: ; в иностранной литературе или (намного реже) ) арксеканс (обозначение: ) арккосеканс (обозначение: ; в иностранной литературе )

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от  — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: но они не прижились. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin, cos для арксинуса, арккосинуса и т. п.Здесь знак определяет функцию обратную функции , — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, означает множество углов , синус которых равен . Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии все решения уравнения можно представить в виде

Основное соотношение

Функция arcsin

Аркси́нусом числа называется такое значение угла , выраженного в радианах, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

при при (область определения), (область значений).

Свойства функции arcsin (функция является нечётной). при . при при

Получение функции arcsin Дана функция . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок , на котором функция строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке существует обратная функция , график которой симметричен графику функции относительно прямой .

Функция arccos

Аркко́синусом числа называется такое значение угла в радианной мере, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

при при (область определения), (область значений).

Свойства функции arccos Функция центрально-симметрична относительно точки является индифферентной (ни чётной, ни нечётной). при при

Получение функции arccos Дана функция . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок , на котором функция строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке существует обратная функция , график которой симметричен графику функции относительно прямой .

Функция arctg

Аркта́нгенсом числа называется такое значение угла выраженное в радианах, для которого

Функция определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

при при (область определения), (область значений).

Свойства функции arctg (функция является нечётной).

, где  — обратный гиперболический тангенс, ареатангенс.

Получение функции arctg Дана функция . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал , на котором функция строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале существует обратная функция , график которой симметричен графику функции относительно прямой .

Функция arcctg

Арккота́нгенсом числа называется такое значение угла (в радианной мере измерения углов), для которого

Функция определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

при при

Свойства функции arcctg График функции центрально-симметричен относительно точки Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной). при любых

Получение функции arcctg Дана функция . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал , на котором функция строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале существует обратная функция , график которой симметричен графику функции относительно прямой .

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, ) и сместить вверх на ; это вытекает из вышеупомянутой формулы

Функция arcsec

Арксе́кансом числа называется такое значение угла (в радианной мере измерения углов), для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

при при (область определения), (область значений).

Свойства функции arcsec График функции центрально-симметричен относительно точки Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной). при любых

Функция arccosec

Арккосе́кансом числа называется такое значение угла (в радианной мере измерения углов), для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

при при (область определения), (область значений).

Свойства функции arccosec (функция является нечётной).

Разложение в ряды для всех При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой где для всех для всех

Производные от обратных тригонометрических функций Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

Функция Производная Примечание

Интегралы от обратных тригонометрических функций

Неопределённые интегралы Для действительных и комплексных :

Для действительных ≥ 1:

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины является противолежащим для угла , то

Связь с натуральным логарифмом Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

См. также Обратные гиперболические функции Теорема Данжуа — Лузина

Примечания

Ссылки

Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].  — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.

Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

Категория:Тригонометрия Категория:Элементарные функции