Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.
Определение Непрерывная функция , заданная в точках произвольной -мерной области пространства , называется субгармонической, если, каким бы ни был шар с центром в точке , принадлежащий вместе со своей границей области , справедливо неравенство , и супергармонической, если .Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. — М.: Наука, 1968.
Основные свойства — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической. Если — открытое множество и ( — класс дважды непрерывно дифференцируемых на функций), то для субгармоничности необходимо и достаточно выполнение на условия ( — оператор Лапласа). Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.
Свойства Для любой аналитической функции , определённой на открытом множестве комплексной плоскости, функция
является субгармонической.
См. также Плюрисубгармоническая функция
Примечания
Литература
Категория:Гармонические функции Категория:Типы функций