Дзета-функция Сельберга — аналог дзета-функции Римана, использующий длины простых замкнутых геодезических вместо простых чисел:
или: , где — подгруппа группы вещественных матриц с единичным определителем , пробегает классы сопряжённости простых геодезических (или, что то же самое, классы сопряжённости примитивных гиперболических элементов) , а обозначает .
Для любой гиперболической поверхности конечной площади существует соответствующая дзета-функция Сельберга; эта функция является мероморфной, определённой в комплексной плоскости. Функция определяется через замкнутые геодезические линии поверхности.
Нули и полюса дзета-функции Сельберга можно описать в терминах спектральных данных поверхности. Нули находятся для каждой с собственным значением в точке (порядок нуля равен размерности соответствующего собственного пространства)Параболическая форма — собственная функция оператора Лапласа — Бельтрами, разложение Фурье которой имеет нулевой постоянный член, а также имеет нуль в каждом полюсе определителя матрицы рассеяния (его порядок равен порядку соответствующего полюса матрицы рассеяния). Полюса функция имеет в , а также может иметь нули или полюса в точках .
Дзета-функция Ихары является -адическим (и теоретико-графовым) аналогом дзета-функции Сельберга.
Дзета-функция Сельберга для модулярной группы Если поверхность есть , где — модулярная группа, дзета-функция Сельберга представляет особый интерес: в этом частном случае она тесно связана с дзета-функцией Римана.
Так, определитель матрицы рассеяния находится выражением: .
В частности, если дзета-функция Римана имеет нуль в точке , то определитель матрицы рассеяния имеет полюс при , и, следовательно, дзета-функция Сельберга имеет нуль при .
Примечания
Литература
Категория:Спектральная теория Категория:Дзета- и L-функции