Свободная алгебра Ли — алгебра Ли, задаваемая множеством порождающих без каких-либо соотношений, кроме билинейности, антикоммутативности и тождества Якоби. Более точно, свободная алгебра Ли определяется своим универсальным свойством: любое отображение её множества свободных порождающих в произвольную алгебру Ли единственным образом продолжается до гомоморфизма алгебр Ли.
Свободные алгебры Ли играют роль в теории универсальных обёртывающих алгебр, в комбинаторике слов, а также в формуле Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа.
Определение
Пусть — поле, а — множество. Алгебра Ли над вместе с отображением называется свободной алгеброй Ли на множестве , если для любой алгебры Ли над и любого отображения множеств существует единственный гомоморфизм алгебр Ли , для которого .
Замечания Любое отображение представимо как композиция .
Из универсального свойства сразу следует, что свободная алгебра Ли, если она существует, единственна с точностью до единственного изоморфизма, сохраняющего порождающие. Элементы часто называют многочленами Ли от переменных из .
Конструкция через тензорную алгебру
Пусть — векторное пространство с базисом , а — его тензорная алгебра:
Это свободная ассоциативная алгебра на множестве . Если в положить , то становится алгеброй Ли.
Свободная алгебра Ли канонически отождествляется с подалгеброй Ли в , порождённой элементами . При таком отождествлении её элементы — это линейные комбинации выражений, полученных из букв с помощью скобки Ли, например
Примеры
Если , то . Если , то одномерна: она порождена , а . Если содержит хотя бы два элемента, то бесконечномерна. Например, для двух порождающих ненулевыми являются элементы
Градуировка и формула Витта
Свободная алгебра Ли имеет естественную градуировку по длине:
где порождена всеми коммутаторами длины . Например, порождена самими буквами, — коммутаторами , а — коммутаторами вида .
Если конечно и , то размерность однородной компоненты степени задаётся формулой Витта:
где — функция Мёбиуса.
В частности,
Базис Линдона
Один из наиболее удобных явных базисов свободной алгебры Ли строится с помощью слов Линдона. Пусть множество порождающих линейно упорядочено; тогда на словах в алфавите задан лексикографический порядок.
Непустое слово называется словом Линдона, если оно строго меньше всех своих нетривиальных циклических сдвигов. Эквивалентно, меньше всякого своего собственного непустого суффикса.
Каждому слову Линдона сопоставляется элемент свободной алгебры Ли. Это делается рекурсивно:
если — слово длины 1, то ; если , то единственным образом записывается в виде , где — самый длинный собственный суффикс слова , который является словом Линдона; тогда
Подсчёт слов Линдона данной длины даёт формулу Витта для размерности однородных компонент свободной алгебры Ли.
Свойства
Теорема Ширшова — Витта. Всякая подалгебра свободной алгебры Ли над полем снова является свободной алгеброй Ли.
Пусть — свободная группа. Рассмотрим её нижний центральный ряд
то есть, . Тогда прямая сумма
имеет естественную структуру градуированной алгебры Ли. Для свободной группы эта градуированная алгебра Ли является свободной алгеброй Ли над соответствующими образами свободных порождающих.
См. также
Алгебра Ли Свободная алгебра Универсальная обёртывающая алгебра Тензорная алгебра Слово Линдона Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта
Примечания
Литература
Категория:Алгебры Ли Категория:Универсальная алгебра Категория:Комбинаторика слов