Проблема Суслина — открытая проблема дескриптивной теории множеств, поставленная Михаилом Суслиным в посмертной публикации 1920 года: обязательно ли плотное в себе линейно упорядоченное множество без наименьшего и наибольшего элементов, в котором всякое семейство непустых попарно непересекающихся интервалов счётно, подобно (порядково изоморфно) множеству вещественных чисел?
Континуум Суслина (прямая Суслина) — линейно упорядоченный несепарабельный компакт, в котором всякое семейство непустых непересекающихся интервалов счётно; гипотеза Суслина (положительное решение проблемы) состоит в том, что континуума Суслина не существует. (1967) и независимо от него (1968), используя метод форсинга, построили модели системы Цермело — Френкеля, в которых континуум Суслина существует. В 1971 году Соловей и Тенненбаум установили, что утверждение не может быть ни доказано, ни опровергнуто в рамках стандартной аксиоматики Цермело — Френкеля (при условии её непротиворечивости), а также доказали, что аксиома Мартина вместе с отрицанием континуум-гипотезы влечёт выполнение гипотезы Суслина. Позже доказал существование континуума Суслина в предположении истинности .
Существование континуума Суслина эквивалентно существованию (дерева мощности первой несчётной мощности , в котором каждая антицепь счётна) и (счётно-дистрибутивной безатомной полной булевой алгебры, в которой каждая строгая антицепь счётна); результат установлен Курепой в 1935 году.
Обобщённая гипотеза Суслина — утверждение о том, что для каждого бесконечного регулярного кардинала всякое дерево высоты имеет либо ветвь длины , либо антицепь мощности . Совместимость обобщённой гипотезы Суслина с обобщённой континуум-гипотезой — открытая проблема.
Литература
Категория:Теория порядков Категория:Независимые утверждения в математической логике