Арифметика функциональных полей — раздел теории чисел и арифметической геометрии, изучающий теоретико-числовые свойства глобальных полей положительной характеристики.
В основе направления лежит структурная аналогия между конечными расширениями поля рациональных чисел — полями алгебраических чисел, и конечными расширениями поля рациональных функций от одной переменной над конечным полем — глобальными функциональными полями. Эта аналогия позволяет переносить методы, гипотезы и теоремы из классической теории чисел в геометрический контекст, где часто удаётся получить более сильные и полные результаты за счёт развитого алгебро-геометрического аппарата.
Словарь Вейля Взаимосвязь между числовыми и функциональными полями была отмечена ещё Дедекиндом и Вебером в XIX веке, но концептуализировал её в 1930-е годы Андре Вейль, сформировав так называемый словарь Вейля; идея заключается в том, что кольцо многочленов ведёт себя арифметически почти так же, как кольцо целых чисел: + Структурная аналогия между числовыми и функциональными полями Классическая теория чисел (характеристика 0) Арифметика функциональных полей (характеристика ) Кольцо целых чисел Кольцо многочленов Поле рациональных чисел Поле рациональных функций Простые числа Неприводимые унитарные многочлены Абсолютное значение Степень многочлена Поле вещественных чисел (или ) Поле формальных рядов Лорана (пополнение) Поле алгебраических чисел Глобальное функциональное поле (поле функций кривой) Кольцо целых Аффинное координатное кольцо Дзета-функция Дедекинда Дзета-функция Хассе — Вейля или дзета-функция Госса
Глобальное функциональное поле Глобальным функциональным полем называется конечное расширение поля рациональных функций , где — конечное поле из элементов.
Эквивалентным геометрическим определением является следующее: — это поле рациональных функций на некоторой гладкой проективной алгебраической кривой , определённой над .
Нормированием (или точкой, местом) поля называется класс эквивалентности нетривиальных дискретных нормирований. Каждое нормирование соответствует замкнутой точке на кривой . Пополнение поля по нормированию обозначается и изоморфно полю формальных рядов Лорана , где — поле вычетов (конечное расширение ), а — локальный униформизующий элемент.
Аналитическая теория: дзета-функции В арифметике функциональных полей рассматриваются два принципиально разных типа дзета-функций, каждый из которых отражает разные аспекты теории.
Дзета-функция Хассе — Вейля
Классический аналог дзета-функции Римана для кривой над определяется как: , где произведение берётся по всем замкнутым точкам кривой.
Гипотезы Вейля (доказанные , Гротендиком и Делинем) утверждают, что эта функция является рациональной функцией от , удовлетворяет функциональному уравнению, связывающему значения в и , а все её нули лежат на критической прямой . Таким образом, гипотеза Римана для функциональных полей является строго доказанной теоремой.
Дзета-функция Госса
В 1970-х годах ввёл дзета-функцию, принимающую значения не в поле комплексных чисел , а в неархимедовом пространстве (пополнении алгебраического замыкания поля ).
Для кольца дзета-функция Госса определяется как: , где — множество унитарных многочленов. Переменная здесь принадлежит сложному топологическому пространству . Функция Госса обладает аналогами тривиальных нулей, особыми значениями, связанными с модулями Карлица, и для неё сформулирован свой аналог гипотезы Римана, доказанный в некоторых частных случаях.
Алгебраические структуры: модули Дринфельда и штуки Арифметика функциональных полей породила собственные уникальные алгебраические структуры, не имеющие прямых аналогов в классической характеристике 0 до перехода к формальным группам.
Модуль Карлица — простейший пример действия кольца на аддитивной группе, порождающий нетривиальные точки кручения. Является основой для явного построения абелевых расширений (теория полей классов Хейса).
Модуль Дринфельда — обобщение модуля Карлица на произвольные ранги. Модули Дринфельда ранга 2 служат функциональным аналогом эллиптических кривых и лежат в основе доказательства программы Ленглендса для .
Штука Дринфельда — обобщение модулей Дринфельда, представляющее собой векторное расслоение на поверхности с фробениусовыми структурами. Аппарат штук позволил Лорану и Венсану Лаффоргам доказать гипотезы Ленглендса для произвольных редуктивных групп над функциональными полями.
Диофантова геометрия над функциональными полями Многие глубокие гипотезы диофантовой геометрии для числовых полей были впервые доказаны (или имеют более простые формулировки) для функциональных полей.
Теорема Мэйсона — Стотерса
Аналог -гипотезы — одной из главных нерешённых проблем теории чисел — для кольца многочленов (или ) был доказан в 1981 году и независимо в 1983 году: для взаимно простых многочленов ( — произвольное поле), удовлетворяющих условию и не являющихся константами, выполняется строгое неравенство: , где — количество различных корней многочлена в алгебраическом замыкании поля (сумма степеней неприводимых делителей).
Из этой теоремы непосредственно следует утверждение Великой теоремы Ферма для многочленов.
Теорема Морделла — Вейля Аналог теоремы Морделла — Вейля утверждает, что группа -рациональных точек абелева многообразия , определённого над функциональным полем , конечнопорождена при условии, что не изоморфно абелеву многообразию, определённому над полем констант (так называемое условие -следа). Доказательство базируется на теории высот на функциональных полях и геометрии расслоённых поверхностей.
Литература
Категория:Арифметика функциональных полей Категория:Арифметическая геометрия Категория:Алгебраическая теория чисел Категория:Алгебраическая геометрия