Парадокс Ферми — Пасты — Улама — Цингу (проблема Ферми — Пасты — Улама, модель Ферми — Пасты — Улама — Цингу, модель ФПУЦ), — это кажущийся физический парадокс в теории хаоса, заключающийся в том, что многие достаточно сложные физические системы демонстрируют почти точное периодическое поведение — называемое возвратом Ферми — Пасты — Улама — Цингу — вместо ожидаемого эргодического поведения. Это стало неожиданностью, поскольку Энрико Ферми, несомненно, ожидал, что система термализуется за достаточно короткое время. То есть ожидалось, что в конечном итоге все колебательные моды будут представлены с равной интенсивностью в соответствии с теоремой о равнораспределении или, в более общем смысле, с эргодической гипотезой. Однако эта система, казалось, избегала следовать эргодической гипотезе. Хотя возврат легко наблюдается, со временем стало очевидно, что на гораздо более длительных промежутках времени система в конечном итоге термализуется. Для объяснения поведения системы было предложено множество конкурирующих теорий, и она остаётся предметом активных исследований.

Первоначальный замысел состоял в том, чтобы найти физическую задачу, достойную численного моделирования на новом по тем временам компьютере MANIAC. Ферми считал, что термализация представляет собой именно такую задачу. Таким образом, это представляет собой одно из первых применений цифровых вычислительных машин в математических исследованиях. В то же время неожиданные результаты положили начало изучению нелинейных систем.

Эксперимент ФПУЦ

Летом 1953 года Энрико Ферми, Джон Паста, Станислав Улам и Мэри Цингу провели компьютерное моделирование колеблющейся струны, которое включало нелинейный член (квадратичный в одном испытании, кубический в другом и кусочно-линейную аппроксимацию кубического в третьем). Они обнаружили, что поведение системы сильно отличалось от того, что подсказывала им интуиция. Энрико Ферми полагал, что после множества итераций система продемонстрирует термализацию, эргодическое поведение, при котором влияние начальных мод колебаний исчезает, и система становится более или менее случайной, причем все моды возбуждаются более или менее одинаково. Вместо этого система продемонстрировала очень сложное квазипериодическое поведение (см. рис. 1). Свои результаты они опубликовали в техническом отчёте Лос-Аламосской национальной лаборатории в 1955 году. Энрико Ферми умер в 1954 году, поэтому данный технический отчёт был опубликован после его смерти.

В 2020 году в журнале National Security Science была опубликована статья о Цингу, включающая её комментарии и исторические размышления о проблеме ФПУЦ. В статье Цингу утверждает: «Я помню, как однажды сидела там с Пастой и Уламом», когда они обсуждали «некоторые задачи, которые мы могли бы решить на компьютере, действительно математические задачи». Они перепробовали несколько вариантов, но в конце концов «они придумали эту колеблющуюся струну».

Эксперимент ФПУЦ сыграл важную роль как в демонстрации сложности поведения нелинейных систем, так и в подтверждении ценности компьютерного моделирования для анализа систем.

В оригинальной статье авторами названы Ферми, Паста и Улам (хотя Ферми умер до написания отчёта) с благодарностью Цингу за ее работу по программированию симуляций на MANIAC. Вклад Мэри Цингу в проблему ФПУЦ в значительной степени игнорировался научным сообществом до 2008 года, когда Тьерри Доксуа опубликовал дополнительную информацию о развитии событий и призвал переименовать проблему, чтобы должным образом отметить и её авторство.

Решёточная система ФПУЦ Ферми, Паста, Улам и Цингу моделировали колеблющуюся струну, решая следующую дискретную систему связанных осцилляторов с взаимодействием ближайших соседей. Пусть имеется N осцилляторов, представляющих струну длины с положениями равновесия , где  — шаг решётки. Тогда положение j-го осциллятора как функция времени равно , так что даёт смещение от положения равновесия. ФПУЦ использовали следующие уравнения движения:

Это второй закон Ньютона для j-й частицы. Первый множитель представляет собой силу в форме закона Гука. Множитель с  — это нелинейная сила. Можно переписать это в терминах непрерывных величин, определив как скорость волны, где  — модуль Юнга для струны, а  — плотность:

Связь с уравнением Кортевега — де Фриза определяющих уравнений для струны (с квадратичным силовым членом) представляет собой уравнение Кортевега — де Фриза (уравнение КдФ). Открытие этой связи и солитонных решений уравнения КдФ Мартином Крускалом и Норманом Забуски в 1965 году стало важным шагом в исследовании нелинейных систем.

Чтобы записать уравнение решётки

в «непрерывной форме», определяется как смещение струны в положении и в момент времени . Чтобы найти соответствие такое, что равно , то есть

для малых , сначала используется формула Тейлора, дающая

которое можно переписать как

Аналогично, второй член в третьем множителе равен

Таким образом, система ФПУЦ принимает вид

Если оставить только члены до O(h) и при условии, что стремится к пределу, полученное уравнение приводило бы к образованию ударных волн (скачков уплотнения), что не наблюдается. Поэтому члены O(h2)-малости также учитываются:

После подстановок, мотивированных разложением решений в виде бегущих волн (обычного волнового уравнения, к которому это сводится при исчезающе малых ) на волны, движущиеся влево и вправо, то следует сосредоточиться на волне, движущуйся вправо. Пусть . При этой замене координат уравнение принимает вид

Чтобы перейти к непрерывному пределу, предполагается, что стремится к константе, а стремятся к нулю. Если , тогда

Тогда при приводит к уравнению КдФ:

Забуски и Крускал утверждали, что солитонные решения уравнения КдФ, проходящие друг сквозь друга без изменения асимптотической формы, объясняют квазипериодичность волн в эксперименте ФПУЦ. Поэтому, термализация не могла произойти из-за определённой «солитонной симметрии» в системе, которая нарушала эргодичность.

Аналогичный набор преобразований (и приближений) приводит к цепочке Тоды, которая также известна как вполне интегрируемая система. Она также имеет солитонные решения пары Лакса и поэтому также может быть использована для доказательства отсутствия эргодичности в модели ФПУЦ.

Пути к термализации В 1966 году и Б. В. Чириков предположили, что система термализуется, если обеспечить достаточное количество начальной энергии. Идея здесь заключается в том, что нелинейность изменяет дисперсионное соотношение, позволяя происходить резонансным взаимодействиям, которые будут перекачивать энергию из одной моды в другую. Однако в 1970 году Д. Форд и Гари Х. Лансфорд настаивали на том, что перемешивание можно наблюдать даже при сколь угодно малых начальных энергиях. История подходов к этой проблеме длинна и сложна.

Недавняя работа Мигеля Онорато и др. демонстрирует весьма интересный путь к термализации. Переписывание модели ФПУЦ в терминах нормальных мод показывает, что нелинейный член выражается как трёхмодовое взаимодействие (используя язык статистической механики, это можно назвать «трехфононным взаимодействием»). Однако это не резонансное взаимодействие,Резонансное взаимодействие — это такое взаимодействие, при котором все волновые векторы складываются/вычитаются в ноль по модулю зоны Бриллюэна, как и соответствующие частоты, полученные из дисперсионного соотношения. Поскольку в сумме они дают ноль, для соответствующего векторного пространства не существует предпочтительного векторного базиса, и поэтому все амплитуды могут быть свободно перераспределены. По сути, это помещает все моды в одну и ту же эргодическую компоненту, где они могут «мгновенно» перемешиваться. В формализме S-матрицы и/или формализме Фейнмана это эквивалентно утверждению о сохранении энергии/импульса: сумма энергии/импульса для входящих состояний должна равняться сумме для исходящих состояний. Если это условие не выполняется, состояния не могут взаимодействовать. и поэтому оно не способно распределять энергию от одной моды к другой; оно может только генерировать возврат ФПУЦ. Трёхфононное взаимодействие не может термализовать систему.

Ключевое понимание, однако, заключается в том, что эти моды являются комбинациями «свободных» и «связанных» мод. То есть высшие гармоники «привязаны» к основной, во многом так же, как высшие гармоники в решениях уравнения КдФ привязаны к основной. Они не имеют собственной динамики и вместо этого синхронизированы по фазе с основной. Термализация, если она присутствует, может происходить только среди свободных мод.

Для получения свободных мод можно применить каноническое преобразование, которое удаляет все моды, не являющиеся свободными (которые не участвуют в резонансных взаимодействиях). Выполнение этого для системы ФПУЦ приводит к осцилляторным модам, имеющим четырёхволновое взаимодействие (трехволновое взаимодействие было удалено). Эти квартеты действительно взаимодействуют резонансно, то есть перемешивают по четыре моды за раз. Как ни странно, однако, когда цепочка ФПУЦ содержит только 16, 32 или 64 узла, эти квартеты изолированы друг от друга. Любая заданная мода принадлежит только одному квартету, и энергия не может перетекать от одного квартета к другому. При переходе к более высоким порядкам взаимодействия возникает шестиволновое резонансное взаимодействие; более того, каждая мода участвует как минимум в двух различных шестиволновых взаимодействиях. Другими словами, все моды становятся взаимосвязанными, и энергия будет передаваться между всеми различными модами.

Трёхволновое взаимодействие имеет силу (то же самое , что и в предыдущих разделах выше). Четырёхволновое взаимодействие имеет силу , а шестиволновое взаимодействие имеет силу . Основываясь на общих принципах корреляции взаимодействий (вытекающих из цепочки ББГКИ), ожидается, что время термализации будет пропорционально квадрату взаимодействия. Таким образом, оригинальная решётка ФПУЦ (размером 16, 32 или 64) в конечном итоге термализуется в масштабе времени порядка : очевидно, это очень большое время для слабых взаимодействий ; в то же время возврат ФПУЦ будет казаться непрекращающимся. Этот конкретный результат справедлив для этих конкретных размеров решётки; резонансные четырёх- или шестиволновые взаимодействия для решеток других размеров могут смешивать или не смешивать моды (поскольку зоны Бриллюэна имеют другой размер, и поэтому комбинаторика того, какие волновые векторы могут давать в сумме ноль, изменяется). Общие процедуры получения канонических преобразований, которые линеаризуют и удаляют связанные моды, остаются предметом активных исследований.

Однако недавнее исследование показало, что в каноническом преобразовании, используемом для удаления трёхволновых взаимодействий, имеются расходимости из-за наличия малых знаменателей. Эти малые знаменатели становятся более заметными при возбуждении низших мод и более значимыми при увеличении размера системы. Эти результаты также указывают на то, что в системе -Ферми — Пасты — Улама — Цингу может существовать порог стохастичности.

Примечания

Литература

Grant, Virginia (2020). «We thank Miss Mary Tsingou». National Security Science. Winter 2020: 36-43.

Ссылки

Категория:Эргодическая теория Категория:История физики